Números primos, o tesouro da Matemática

Quando se ouve falar em tesouro, pensamos em ouro e pedras preciosas. Se for um tesouro moderno, pensamos logo num baú recheado de dólares. O que realmente jamais passaria pela cabeça de alguém é que o tesouro possa ser um número primo muito grande, com mais de uma centena de dígitos. Reconheço que pode ser exagero meu chamar de tesouro a descoberta de um número primo, mesmo com essa característica, mas, a bem da verdade, gastam-se, hoje, verdadeiras fortunas para se obterem tais “preciosidades”.

Nesta mesma seção, em novembro de 1989, escrevi sobre este tema mostrando que uma das maneiras de se gerar um código criptográfico (cifrado) começa com a escolha de dois números primos suficientemente grandes. O número 12, por exemplo, é composto: pode ser 6×2, 3×4 ou ainda 2x2x3. Já os números 2, 7, 19 são primos, ou seja, não podem ser decompostos. Pois bem, uma vez escolhidos os dois números primos, eles são multiplicados gerando um produto que será um grande número composto. A mensagem, então, é convertida numa seqüência de números por algum método convencional e a seguir é codificada por uma operação baseada nesse grande número, produto dos dois números primos.

A mensagem só poderá ser decodificada por uma segunda operação matemática baseada no conhecimento dos dois números primos originais. Logo, se alguém conseguir fatorar o grande número gerado, terá a chave para decifrar a mensagem. Esse procedimento é de grande utilidade quando se trata de segredos industriais, registros de grandes seguradoras e códigos bancários porque preservam sua segurança. No artigo que escrevi em 1989, comentei que Ronald L. Rivest tinha calculado, em 1977, um código de 125 dígitos – ou seja, um grande produto que resultou da multiplicação de dois números primos com cerca de 63 dígitos cada. Um número desse tamanho deveria ser extremamente seguro, pois seriam precisos 40 quatrilhões de anos para ser quebrado pelos computadores mais rápidos daquela época. Mas Rivest subestimou não apenas a velocidade dos avanços da Informática, como, principalmente, a capacidade humana na criação de algoritmos de fatoração.

Exatamente doze anos depois, essa tarefa levava um ano. Hoje, poucos meses certamente. Se, como eu, você estiver convencido de que os números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, e 47 e você deve ter aprendido que todo número inteiro composto pode ser fatorado (decomposto) em números primos. O 60, por exemplo, é resultado de 2x2x3x5, do mesmo modo que 3x5x5x7x19x157 gera o composto 1.566.075. Já 223, por ser primo é equivalente a si mesmo.

Assim, parece-nos natural repetir a pergunta. Quantos números primos existe? Se continuarmos a lista iniciada acima, observamos que eles se tornam mais espaçados à medida que avançamos na seqüência numérica, isto é, há mais primos entre 1 e 100 do que entre 101 e 200. por isso, não seria descabido pensar que eles vão se tornando cada vez mais raros até se chegar à suposição de que existe um número primo que é o mair de todos. Nada mais enganoso. Euclides, matemático grego do século III a.C, havia mostrado que não há o maiôs número primo e, portanto, a sucessão é infinita. Tal demonstração é um bonito exemplo do que chamamos normalmente de prova indireta. De início vamos admitir que haja um número finito de primos e tentaremos chegar a uma contradição derivada dessa afirmação. Considerando P o maior número primo que existe, listemos todos até o P.

Agora, geramos um novo número, N, que é o produto de todos esses primos da lista. Portanto:

N=2x3x5x7x11x …. x157x …. x P. Observe que 2 divide exatamente (sem deixar resto) o número N e conseqüentemente (N+1) não é divisível por 2 (deixa resto 1). Também o 3 divide N, já que ele é um fator de N. Portanto, 3 não divide (N+1) exatamente, pois também deixa resto 1. De modo análogo, para o 5, 7, 11 …. 157, e para todos os números primos até P, podemos concluir que todos dividem N exatamente e portanto cada um deles, ao ser divisor do número (N+1), deixa o resto 1. e isso significa que como nenhum dos números primos 2, 3, 5, …. P divide (N+1) exatamente, então o número N+1 é ele próprio um número primo ou é divisível por outro primo maior que P.

Nós, porém, admitimos que P seria o maior dos números primos e temos uma contradição. Logo, não existe o maior número primo. Minha intenção aqui é colocar as pessoas em contato com mentes como a de Euclides para quem sabe um dia a Matemática deixar de ser uma história de mistério e terror.

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