O Jogo do 15 e suas trilhões de possibilidades

Luiz Barco

Outro dia fui abordado por uma leitora de SUPER que me cobrava mais artigos sobre Sam Loyd (1841-1911), um americano nascido na Filadélfia e considerado o maior charadista da América. Mas a leitora havia se enganado pois, na verdade, quem costuma fazer referências a Loyd é outro Luís, o Dal Monte, em sua seção Superdivertido. Ele, aliás, escreveu, em outubro de 1990, um artigo sobre Loyd e sua mais célebre invenção, o 15-14 ou simplesmente Jogo do 15. Mas isso não nos impede de voltar ao tema e explorar alguns dos fatores matemáticos envolvidos nesse jogo, que surgiu nos Estados Unidos em 1870 e tornou-se uma mania nacional.

Trata-se de uma pequena caixa quadrada, com 15 espaços cobertos por quinze peças numeradas também quadradas e um espaço vazio para que se possa movimentá-las (veja a figura 1). Observe que as peças são ordenadas na caixa em seqüência, exceto as duas últimas, 15 e 14, que estão fora da ordem. Para jogar, deve-se deslocar as peças ocupando o espaço vazio, fazendo quantos movimentos quiser sem retirá-las da caixa, colocando-as na ordem e deixando o 16° quadradinho vazio (veja a figura 2). A popularidade do jogo fez com que ele merecesse, anos mais tarde, artigos em publicações científicas. Analisando a invenção de Loyd, matemáticos chegaram à seguinte conclusão: são quase vinte e um trilhões de configurações possíveis das peças na caixinha (21 x 10¹²).
Para chegar a isso, eles usaram a teoria da permutação, ou da troca.

Não vou detalhar as análises que se podem fazer sobre o jogo, pois envolvem Álgebra Combinatória e isso escapa aos objetivos desta coluna. Mas, se contarmos de quantas maneiras podemos dispor uma fila de elementos distintos, estamos calculando sua permutação. Por exemplo, com dois elementos A e B podemos ter AB e BA – duas permutações. Já com três elementos, Sol, Terra e Lua, temos seis permutações: (S,T,L)(T,S,L) (L,S,T) (S,L,T)(T,L,S) (L,T,S)

Para calcular, por exemplo, as combinações possíveis de um conjunto com cinco elementos distintos deve-se multiplicar 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Com seis elementos temos: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Com”n” elementos distintos, temos: n x (n-1) x (n-2) x … x 3 x 2 x 1. É o “n” fatorial. No caso do jogo de Sam Loyd, em que a caixinha tem 16 posições possíveis, se permutarmos as 15 peças e o espaço vazio, vamos obter 16 x l5 x l4 x…x 3 x 2 x l,o que resulta quase 21 trilhões de configurações.

Outro matemático, especialista em passatempos, o alemão Ahrens, foi ainda mais adiante. Analisando o 15-14 ele concluiu que metade das 21 trilhões de configurações iniciais possíveis era vencedora (podia ser colocada na ordem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 e espaço) e a outra metade, perdedora, isto é, seria impossível colocar todos os números na seqüência crescente. Ele descobriu isso a partir das desordens (uma desordem é quando um número maior antecede um número menor).
Veja a disposição da figura 3. Nela, o 8 antecede o 7 (uma desordem); o 13 antecede o 12 e o 11 (duas desordens); o 14 antecede o 12 e o 11 (duas desordens) e o 12 antecede o 11 (mais uma desordem). Seis desordens no total. Segundo Ahrens, quando o número inical de desordens é par torna-se possível vencer o jogo. Detalhe: nesse caso, por mais que se mexa nas peças não há chance de as desordens se tornarem ímpares. Porém, se na distribuição inicial das peças, o número de desordens for ímpar, também não se conseguirá obter um número par e, assim, não será possível ganhar a partida.

Quando Loyd montou o passatempo tendo como única desordem o 15-14
(posição inicial ímpar), ele não conhecia todas as teorias matemáticas que estavam por trás do jogo. Mas ele sabia por intuição e treino que com uma configuração assim seria impossível vencer. Por isso, resolveu promover um concurso no jornal em que escrevia, prometendo um prêmio de U$ 1 000 a quem conseguisse colocar na ordem as peças tal como está na figura 2. E, é claro, não houve vencedores.

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