As pontes de Koenisberg

Saiba o que é topologia, uma geometria que estuda as propriedades inalteráveis de um objeto, mesmo quando sua forma muda.

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Atualizado em 31 out 2016, 18h50 - Publicado em 31 out 1999, 22h00

Luiz Barco

1. A ilustração que você vê acima é uma representação da cidade alemã de Koenisberg, cortada pelo Rio Prególia. A prefeitura do município fica em uma de suas duas ilhas, a de Kneiphof. Todos os bairros estão interligados por sete pontes. A questão é: será possível, numa única caminhada, passar por todas elas sem cruzar nenhuma mais de uma vez? Para responder, o matemático suíço Leonard Euler montou, no século XVIII, o diagrama acima, no qual cada arco representa uma ponte e cada ponto ou vértice uma margem.

2. Euler descobriu que é possível atravessar um diagrama e voltar ao ponto inicial se todos os seus vértices forem pares, isto é, se cada um deles estiver ligado a um número par de arcos. Ele também concluiu que, se houver no máximo dois vértices ímpares, também dá para atravessá-lo, mas sem regressar ao ponto de partida. Repare que em Koenisberg todos os quatro vértices são ímpares. Portanto, a travessia é impossível. No diagrama acima, suprimimos a ponte entre B e D e criamos uma nova, ligando A com C. Siga as setas e veja que é possível fazer a travessia sem passar duas vezes pela mesma ponte e voltando sempre ao ponto de partida.

Professor da Universidade de São Paulo (USP) e da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)

matematica@abril.com.br

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O que a deformação não pode mudar

A descoberta de Euler pode parecer apenas um divertido quebra-cabeça, mas foi o início de um dos ramos mais palpitantes da Matemática: a topologia. Em poucas palavras, trata-se do estudo das formas ou, mais especificamente, daquilo que não muda quando um objeto é deformado. Pegue o mapa de Koenisberg acima e use sua imaginação. Tente esticá-lo como se fosse de borracha. Imaginou? Agora repare que as margens podem ter ficado mais próximas e que as ilhas se afastaram uma da outra, mas algo não mudou: a relação entre elas.

Ao estabelecer os únicos caminhos possíveis para atravessar as sete pontes, Euler descobriu que a análise sobre a possibilidade desse trajeto era invariável, mesmo que a forma do terreno mudasse continuamente. Repare na ilustração do diagrama que ele reduziu toda uma cidade a um conjunto de pontos e arcos. Cada margem virou apenas um único ponto. No entanto, as relações entre eles permaneceram inalteradas.

Como muitos fenômenos da natureza resultam em contrações e distensões, era necessário construir uma Matemática que desse conta de entender e explicar fenômenos envolvendo transformações contínuas. Embora tenha nascido no século XVIII, a topologia continua sendo um objeto de estudos e ainda oferece poucas aplicações práticas no dia-a-dia. Uma delas está no mundo das telecomunicações e da informática.

Para montar redes globais de satélites e computadores, grandes empresas usam a topologia para interligar os caminhos em que suas informações trafegam. Ela ajuda a estabelecer a melhor conexão entre os pontos, quando não a única. O mundo pode se deformar totalmente, mas as redes de comunicação que unem sua casa a qualquer outro lugar serão sempre as mesmas. nQuem sabe é Super

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Teste a sua fantasia com este problema

Vamos aplicar a topologia num enigma. Um espião invadiu um edifício de alta segurança (veja ilustração ao lado). Sensores registraram que o intruso atravessou uma única vez cada uma das portas até ser apanhado quando tentava arrombar o cofre. Em que sala estava o cofre?

A solução está na página 103.

Algo mais

Leonard Euler (1707-1783) demonstrou como as aves se mantêm no ar e estudou a Física da respiração humana. Quando ficou cego, dezessete anos antes de morrer, desenvolveu um método para continuar escrevendo suas fórmulas mesmo sem enxergar.