Viagem pelos caminhos dos números naturais

Luiz Barco

Outro dia, em Bauru, enquanto aguardava o ônibus que me traria de votla a São Paulo, fui abordado por um jovem leitor de SEPERINTERESSANTE, que me perguntou como eram formulados os problemas de matemática que aparecem em jornais, revistas e nas seções de quebra—cabeça em geral. Como eu, o rapaz também ia viajar e, assim, pude mostrar-lhe um agradável modo de passar o tempo. Durante uma viagem, por exemplo, escolhe-se um ônibus e com os algarismo do seu número tanta-se construir os números naturais, em seqüência, a partir do 1: 1, 2, 3, 4, 5…, usando-se para isso a adição, subtração, multiplicação, divisão e os símbolos como parênteses ( ), colchetes [ ], chaves { } etc., operando-se todos ou alguns desses algarismo.

O número do ônibus que escolhemos era 18 2 35. Imediatamente meu companheiro iniciou: 1, 2, 3 nós já temos. O 4 é o 5 –1. 5 também já temos. 6 é 8 -2 e 7 é 8 -1. 8 já temos. 9 é 8 + 1 etc. Com alguns tropeços e comentários, quando o ônibus passava pela estrada que liga Jaú a Avaré, perto de Pratânia, meu novo amigo já havia construído mais de meia centena. Estávamos já perto de Botucatu quando o rapaz engasgou no 74, pois com (5 -2) x 3 x 8+1, chegara a 73. Nessa altura, já estávamos na ligação de Botucatu com a Rodovia Castello Branco. Antes que eu o ensinasse, veio a solução: [8 x (3 + 1) + 5] x 2 é 74. A seguir vem o 75 que é (8 – 3) x 5 x (2 + 1 ).

Novo titubeio no 76, quando esquecemos que a solução era ( 8 + 3) x ( 5 + 2) – 1. Para 77 basta não diminuir de 1 e para 78, adiciona-se o 1. Depois de uma parada para um lanche, meu companheiro lembrou que, se pudéssemos usar a potenciação, o 76 seria facilmente descrito por 5 x ( 3 + 1 ) – 8 resulta 92 e 3 + 2 x 8 = 97.
Chegamos ao final de nosso problema e, de quebra, sobrou um para os leitores: escrever o 92 e o 97 usando somente combinações das quatro operações elementares. Como não pensei mais no assunto, não sei se existe soluça. Acredito que exista. Se você conseguir encontra-la, mande para a revista aos meus cuidados. Essa brincadeira do ônibus me fez relembra um problema dos tempos de ginásio que aparece no livro, infelizmente esgotado, do professor Mello e Souza, Diabruras da Matemática, que reproduzo aqui: “Escrever um número inteiro qualquer ( de zero a 100) sob a forma de uma expressão constituída de 4 quatros. Nessa expressão deve figurar quatro vezes o algarismo 4, não sendo permitido o emprego de nenhum outro algarismo ou letra”. O autor escreveu até o número 18 e parou no 19, resolvendo-o, com o auxílio do fatorial.

Em matemática quando escrevemos um número n seguido do sinal de exclamação (!), estamos usando uma forma abreviada para indicar o produto de todos os números naturais, de 1 até n. Logo 5! = 1x 2 x 3 x 4 x 5 = 120. Ou 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 etc. Quando entrei em contato com o fatorial novamente, já no curso colegial, percebi com alegria que já havia aprendido no ginásio aquilo que meus colegas tinham dificuldades em entender. No livro citado, o professor Mello e Souza resolve, entre outros, os números 56, 58, 63, e 65. Pela ordem:
( 4!+4) x (4 – ),

E termina assim: “ Para os números 33, 41, 51, e 61, o problema nos pareceu insolúvel”. Eu só resolvi o 33 no terceiro ano do colegial ao aprender a função “maior inteiro contido em “, cujo símbolo é um colchete [a] e cuja leitura é: “o maior número inteiro menos ou igual ao número a”. Por exemplo:

[2] = 2

[ 3,71] = 3

[ 2,41] = 2 assim [ ] = 1 e, desta maneira, resolvi o 33:

4! + 4 + 4 + [ ]

Com um pouco de imaginação, também solucionei os outros e tive grande prazer nisso. Tente você também, mas escolha pra isso uma viagem bem longa, pois não é fácil. O importante é selecionar convenientemente alguns problemas para podermos dar chance aos jovens de descobrir prazerosamente algo que às vezes aprendem, quando aprendem, dolorosamente.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicação e Artes da Universidade de São Paulo.

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