Cinco números além do Pi que merecem 15 minutos de fama

O número π (3,1415 etc.) está em escondido em todos os círculos, e você já sabe disso. Até a SUPER já prestou uma homenagem poética a ele. Mas chega de clichês. A física e a matemática estão cheias de outros números interessantes, que se escondem em fórmulas por aí e dão ao mundo a cara que você conhece. Vamos dar a eles seus 15 minutos de fama.

e (2,7182 etc.)

Piada de exatas, cortesia da New Scientist: em 2004 – esse ano longínquo em que o Gmail foi inventado –, Eric Schmidt, na época CEO da Google, anunciou que queria alcançar exatamente 2.718.281.828 de dólares de lucro. Quase todo mundo achou o valor meio exótico, mas os matemáticos de plantão sacaram na hora que essas eram as primeiras nove casas decimais do lendário número e, o número de Euler.

e, como π, é um número infinito, irracional e transcendental, mas não é tão famoso. Uma pena, porque ele também está por todos os lados.

Imagine o seguinte: você tem 100 reais na poupança. O banco decide que irá te pagar, por ano, 50% desse valor (olha só que banco generoso). Ao final do primeiro ano, você terá 150 reais, e ao final do segundo ano 150 reais mais 50% disso, o que dá 225 reais. São os famosos juros compostos, ou juros sobre juros. Parece um ótimo negócio, não?

Sim, mas pode ficar melhor. E se, ao invés de 50% por ano, sua conta rendesse 25% a cada seis meses? Logo de cara, parece que dá na mesma. Afinal, cada ano tem 12 meses – a conclusão óbvia seria que ganhar 25% por cento duas vezes ao ano é a mesma coisa que ganhar 50% em uma tacada só no final do ano. Mas isso não funciona na prática, porque os juros são compostos: faça as contas e você descobre que terá 244,14 reais, quase 20 reais a mais que no primeiro caso.

Divida o ano em 10 partes e você terá 259,37 reais. Divida em 100, e serão 270,48. O valor, aparentemente, não para de crescer. Mas ele cresce cada vez menos. Se você dividir o ano em mil partes, serão “só” 271,69 reais. Se você dividi-lo em infinitas partes, bingo: você alcançará 271,8281 etc. reais – o número de Euler. Ele é, portanto, o maior inimigo de qualquer banqueiro: e sempre estará lá para evitar que você pague mais do que um determinado valor por um empréstimo, por menor que seja o período de capitalização.

0 K

O zero já é um número interessante por si só. Mas a temperatura 0 K – o zero absoluto – é ainda mais. Como a velocidade da luz, é impossível alcançá-lo: nada pode ficar tão frio; seria necessário extrair uma quantidade infinita de calor de um objeto para ele chegar lá. E essa era uma questão tão polêmica que só ficou provada de vez neste ano. 

Um jeito mais clássico de explicar o problema é assim: a temperatura de um objeto é o grau de agitação de suas partículas (especialistas sabem que é mais complicado do que isso, mas a simplificação vai bastar). Se você pudesse ver os átomos de uma frigideira quente, veria algo parecido com a pista de um show do Metallica – quando ela esfria, eles passam lentamente para um estado mais parecido com o público do Djavan. 0 K – o equivalente a – 273ºC – é a temperatura hipotética em que todos os átomos ficam absolutamente parados. É tão frio que toda a agitação cessa.

Mas há um problema: não existe um jeito de parar completamente os átomos. Para um objeto esfriar, ele precisa estar em um contato com um objeto mais frio, que vai “pegar” o seu calor.  Como não existe nada mais frio do que 0 K, não há nada que possa forçar outro objeto a alcançar essa temperatura roubando calor dele.

As coisas ficam piores quando entramos no mundo das coisas muito pequenas: uma das previsões mais famosas da mecânica quântica é o princípio da incerteza de Heisenberg. Ele afirma, basicamente, que é impossível medir a posição de uma partícula porque o próprio ato de medi-la interfere em seu estado. Em outras palavras, é impossível cravar que todos os átomos de um objeto estão perfeitamente parados e sem energia. 

440 Hz

Essa é frequência da vigésima nona tecla branca de um piano de 88 teclas – o que os músicos chamam de Lá 4. E daí?

E daí que esse Lá é, desde o século 19, a nota usada de referência para afinar todas as outras notas. Se você toca violão sozinho no quarto, não faz diferença nenhuma afiná-lo usando como padrão, digamos, 435 Hz ou 445 Hz – mudar de leve a frequência do Lá 4 só deixará todas as notas mais graves ou mais agudas de maneira uniforme. O problema é se você toca em uma banda ou orquestra, em que todo mundo precisa adotar uma frequência só para o conjunto não desafinar.  

Por isso existem acessórios como o diapasão, um objeto em forma de garfo que emite 440 Hz faça chuva, faça sol. Além disso, a estação de rádio norte-americana WWV emite um apito de 440 Hz uma vez a cada 60 minutos – uma referência que era útil para músicos na época em que não existiam afinadores elétricos. Há até uma teoria da conspiração que diz que bom mesmo é afinar o Lá em 432 Hz. Seus defensores dizem que esse é um tom de cura espiritual, que tem a ver com a ressonância da ionosfera da Terra  e aumenta a capacidade cerebral dos ouvintes (!?). Para a física, é claro, essa é só uma lenda virtual das boas.

Googol

É o um seguido de cem zeros. Ou 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.

Se ele serve para alguma coisa? Não. Seu feito mais famoso foi dar nome a uma das maiores empresas de tecnologia do mundo, a Google. Ele é muito útil para explicar que mesmo o maior número que alguém é capaz de imaginar não é o mesmo que o infinito – afinal, como você pode perceber, até o Googol tem um fim (no caso, o ponto final do parágrafo ali em cima).

Há duas coisas muito divertidas que só algo com tantas casas decimais quanto o Googol pode fazer. Uma é comparar a massa de um elétron (cerca de 10⁻³⁰ kg) à massa do universo (uma boa estimava é 10⁵³ kg). Outra é render ótimas canções no YouTube, como essa aqui.

√ -1

A raíz de -1, também conhecida como i, é um dos maiores bugs da matemática. Para entender o porquê, precisamos de um flashback para duas coisinhas que você aprendeu no Ensino Médio. A revisão vai ser rápida.

A primeira tem a ver com a multiplicação: um número negativo (como -2) vezes outro número negativo (como -5) dá um número positivo (no caso, 10). A segunda é que quando você multiplica um número por ele mesmo (como 2), você chega em outro (no caso, 4) – o que torna o 2 a raíz quadrada de 4.

Isso cria um problema meio sem noção: como um número negativo vai ter uma raíz quadrada se é impossível multiplicar um número negativo por ele mesmo (-2 vezes -2) e chegar a outro número negativo (a conta, é claro, dá 4, e não -4)?

Pois é. Chegamos a um grupo de números que simplesmente não podem existir. São os números complexos, representados pela raíz quadrada de -1: a letra “i”. Esse “i” torna possível fazer contas com números que não existem – a raíz de -16, por exemplo, é 4i.

Acredite se quiser: apesar de inconcebíveis, esses números estão cheios de aplicações práticas. Quando engenheiros vão simular situações reais usando a matemática, por exemplo, as contas que estão por trás de circuitos elétricos são resolvidas com mais facilidade se eles usarem números complexos. Sua lâmpada até poderia acender sem eles. Mas tudo fica mais fácil com uma mãozinha do i.