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A face oculta do dominó

Como improvisar um jogo de dominó em papel-cartão e como montar os conjuntos, que podem ter 28, 55 ou 91 pedras.

O dominó é, certamente, um dos jogos mais populares no Brasil, onde divide com a sinuca e o truco muitas das poucas horas de lazer das classes trabalhadoras. É comum os bares e botequins de nossas cidades terem uma mesinha com um conjunto de peças – “cortesia da casa” – onde os amigos se revezam, ora jogando, ora sapeando, mas sempre regando uma boa prosa com alguma bebidinha.
É pena que, sendo assim tão praticado, o dominó seja tão pouco conhecido entre nós. Realmente, os brasileiros estão habituados a jogar apenas uma das variantes do dominó, que não é nem a única nem muito menos a mais interessante. Há dezenas de outras, variando desde as aleatórias até as que exigem bastante raciocínio. Bem, mas isto é matéria para um artigo futuro. Hoje não jogaremos com o dominó, mas resolveremos quebra-cabeças feitos com suas peças, ou pedras, como preferem alguns.
Não é possível que o leitor, ou seu filho, não tenha um dominó em casa. Porém, se esta excentricidade ocorrer, improvise você mesmo um jogo em cartão. Saiba que os conjuntos de dominó podem ter um número variável de pedras e que eles são batizados em função da pedra mais alta. Assim, por exemplo, podemos ter conjuntos “duplo-seis” (28 pedras), “duplo-nove” (55 pedras), “duplo-doze” (91 pedras). Cada conjunto deve conter pedras com todas as combinações possíveis entre os valores, do zero (chamado “branco”) até o mais alto adotado no conjunto. Uma fórmula para o total de pedras é n (n+ 1)1/ 2, sendo n o número de valores diferentes adotados. Os quebra-cabeças propostos a seguir utilizam o conjunto “duplo-seis”, o mais difundido entre nós. Um conjunto de pedras em estado monolítico, contém todas as 28 peças necessárias para compor um jogo, porém elas ainda não foram separadas. O leitor descobriria qual o plano de corte que permite separá-las? Uma dica: ao empunhar sua serra lógica, o leitor deve buscar um ponto de referência inicial (no diagrama há dois destes pontos).

Outro problema, bem mais difícil que o anterior, tornou-se conhecido como “Schuh Puzzle”, em homenagem a Fred Schuh, que o estudou exaustivamente. Ele pode ser expresso assim: construir um retângulo de 7 por 8 módulos (cada pedra contém 2) de tal modo que cada valor apareça sempre em grupos de quatro módulos alinhados. Tente obter outras soluções, variando não apenas a disposição das pedras sobre o arranjo geométrico daquela figura, mas, principalmente, variando o próprio arranjo. Você ganha de presente um desses arranjos – um presente de grego, na certa, pois nesse caso a solução é única (veja a resposta na seção de soluções, se você não conseguir desembrulhá-lo).
Fred Schuh demonstrou que o problema tem, ao todo, 36 soluções essencialmente diferentes. Isto quer dizer que não contam aquelas obtidas por reflexão ou rotação.

Mas terminemos o artigo deste mês com um problema mais ameno. As pedras de dominó são geradas a partir de um módulo quadrado e, por isso, era inevitável que alguém tentasse construir quadrados mágicos com eles. Um quadrado mágico é um conjunto de números dispostos numa malha quadrada, de tal modo que a soma dos números de qualquer coluna, fileira ou diagonais maiores seja uma constante. Entretanto havia uma dificuldade, pois o conjunto “duplo-seis” (28 pedras) reunia 56 módulos, que não resultam num quadrado perfeito. Paillot encontrou um artifício para contornar esta dificuldade: ordenando as 28 pedras segundo um retângulo de 7 por 8 módulos e deixando a 8ª coluna integralmente ocupada por módulos “brancos”, podia-se levar em conta apenas as sete primeiras colunas, ignorando-se a última como se esta fosse uma espécie de margem.
O quadrado mágico foi descoberto por Paillot. Não é difícil encontrar outros exemplos e o leitor pode comprovar isso por si mesmo. Em suas tentativas não é preciso dispor as pedras como ele fez, sendo válido usá-las tanto na horizontal, quanto na vertical, desde que a última coluna permaneça “branca”. As pedras do dominó podem rolar em muitos outros quebra-cabeças, que abordaremos oportunamente. Até lá, não deixe as suas criarem limo!