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Casa do pombo: Vale tudo na resolução de problemas matemáticos

Se uma dúzia de balas for distribuída entre sete crianças, então algumas crianças receberão pelo menos duas balas. Não, não se trata de falta de assunto nem de escrever obviedades. A conclusão acima pode ser generalizada assim: “Se n objetos são distribuídos em m lugares e se n é maior que m, então alguns lugares recebem pelo menos dois objetos”. Parte integrante dos livros sérios de Matemática, este é um princípio poderoso de que se valem os matemáticos para demonstrar teoremas ou resolver problemas. Em português é o chamado princípio da casa do pombo, pois é fácil de aprender: se num pombal existem mais pombos que casinhas disponíveis, então algumas casinhas abrigarão pelo menos dois pombos.

Muitas vezes, usamos esse princípio ou uma formulação equivalente sem nos darmos conta; outras vezes, deixamos de resolver problemas por imaginar que tais procedimentos não fazem parte do arsenal de instrumentos de que se valem os profissionais para atacar problemas e resolvê-los. Rafael é um jovem pesquisador do Instituto de Ciências Biomédicas da Universidade de São Paulo e estudioso de alguns assuntos da Matemática. Leitor de SUPERINTERESSANTE, Rafael nos enviou um interessante problema que transcrevo abaixo:

“Numa cidade, o número de habitantes é maior que o número de fios de cabelo na cabeça de qualquer um dos moradores. Ou seja, se contarmos os fios de cabelo da cabeça de qualquer um deles, esse número será menor que a população da cidade. Ali, não existem dois habitantes que tenham o mesmo número de fios de cabelo e não há ninguém com exatos 618 fios de cabelo na cabeça. Qual é o maior número possível de habitantes dessa cidade?”

Observe que o problema pede o maior dos números inteiros que obedeça a todas essas condições e uma boa maneira de resolvê-lo é ensaiar números possíveis, isto é, pensar um número de habitantes e supor uma distribuição que indique o número de fios de cabelo de cada um deles. Essa é a primeira etapa. A seguir, você vai alterando esse número até o limite máximo, se existir esse limite. É um bom exemplo do uso do princípio da casa do pombo para resolver esse problema. Apresentei a sugestão de Rafael a diversas pessoas, a matemáticos inclusive, e foi curioso constatar que parece não existir um modo preferencial de atacar tais problemas, seja pelos especialistas, seja pelos leigos.

Como no segundo semestre letivo do ano passado tive a incumbência de desenvolver um curso de introdução à Lógica para os alunos do curso de Jornalismo da Universidade de São Paulo, aproveitei alguns problemas clássicos, que aparecem freqüentemente em livros de quebra-cabeças e curiosidades matemáticas, para ilustrar alguns raciocínios típicos e, é claro, entre eles, o problema do jovem Rafael. Urna jovem estudante de Jornalismo, que como minha amiga Inês – que edita esta seção – jurava não ter jeito para Matemática, o resolveu de forma brilhante. Primeiro, construiu um enunciado equivalente, pois, segundo ela, gosta de visualizar aquilo em que está pensando, e o raciocínio que criou foi este: “Um pomar de laranjeiras tem mais árvores que laranjas em qualquer das laranjeiras. Não existem duas laranjeiras com o mesmo número de laranjas. E também não há nenhuma laranjeira com exatas dezoito laranjas. Qual é o maior número possível de laranjeiras desse pomar?”

Ela matou o problema do pomar e a seguir estendeu o resultado para os habitantes e seus cabelos. Sabem como ela resolveu? Desenhou as laranjeiras e foi distribuindo as laranjas entre elas, até chegar à solução. Comentei que era uma bela e imaginosa solução e a moça, surpresa, me disse que nos tempos do colegial fora estimulada a não raciocinar graficamente e por essa razão sempre achou que isso não era Matemática. Fico imaginando as boas intenções e os péssimos resultados dessas “verdades subterrâneas” que ninguém escreve, mas subrepticiamente são transmitidas aos nossos estudantes. Talvez devêssemos começar uma nova campanha de lugares comuns. Por exemplo: pensar não dá câncer; amar não é pecado; ser feliz não é contrário à natureza. Tente você também resolver o problema dos fios de cabelo e, se quiser, escreva-nos contando o resultado a que chegou.