Desafio de lógica: Bate-papos e abacaxis dão sabor à Matemática

Três amigos se encontram e como os tempos estão bicudos resolvem ir ao boteco da esquina para partilhar, no beber e no pagar, uma caipirinha. “São vinte e cinco mil”, diz o garçom, chamado depois de muita conversa. Cada um lhe dá uma nota de 10000 cruzeiros, ao todo 30 000. Ele vai ao caixa e traz o troco: cinco notas de 1 000 cruzeiros. Dá uma nota a cada um e imediatamente um dos rapazes lhe diz para ficar com os 2 000 restantes. Ao saírem do boteco, um deles observa: “Que engraçado. Eram 30 000, uma nota de 10 000 de cada um de nós e como recebemos 1 000 de troco, gastamos 9 000 por cabeça que multiplicados por: 3 resulta em 27 000, que somados aos 2 000 da gorjeta somam 29 000. Cadê os outros 1000?” Esse despretensioso probleminha me foi proposto por um leitor de SUPERINTERESSANTE que me reconheceu numa pequena loja de materiais de construção na Vila Leopoldina, onde eu e ele nos abastecíamos para mais uma aventura de encanadores de fim de semana. Eu já conhecia o problema, mas ele fez tanto sucesso na loja – do atendente ao garoto dos pacotes, todos deram palpites – que decidi propô-lo nesta seção. E claro que você já deve ter percebido a pegadinha, até ingênua. Mas, oralmente, fica mais difícil, pois quem ouve concorda que se os três amigos gastaram 9 000 cada, a conta é imediata: 9 x 3 = 27 + 2 = 29. Ou seja, faltam 1 000. Nesse raciocínio, a pessoa não percebe que estamos ignorando os 3 000 divididos entre os três rapazes e contando duas vezes os 2 000 que foram dados ao garçom. De fato, eles gastaram os 25 000 que ficaram na caixa, mais 1 000 cada um, ou seja 28 000; os 2 000 restantes ficaram na mão do garçom. E assim, o total é 30 000.

Esse tipo tortuoso de raciocínio é muito mais freqüente do que se imagina e não raro ele faz parte da “lógica” embutida na diferença entre preço à vista e a prazo praticado em vários setores do comércio, graças à inflação. Uma coisa, porém, é verdade: nada como um bom problema de raciocínio para animar um bate-papo. Aproveitei o sucesso que o problema do boteco causou para propor aos meus novos amigos um outro, bem antigo por sinal, que costuma aparecer em publicações sobre curiosidades matemáticas e que ouvi do professor Júlio César de Mello e Souza (o célebre Malba Tahan) num curso de formação de professores de Matemática.

Eis o problema: dois produtores resolveram vender uma partida de trinta abacaxis cada um. O primeiro estipulou o preço em 10 000 cruzeiros para cada dois abacaxis; o segundo, menos ganancioso, estabeleceu que três abacaxis custavam 10000. Assim, o primeiro receberia 150000 pelos trinta abacaxis e o segundo, 100 000 pelos outros trinta abacaxis. Ou seja, no total, 250 000. No caminho para a feira o encarregado da venda dos sessenta abacaxis ponderou para si mesmo: “Se eu iniciar a venda pelos abacaxis mais caros, corro o risco de perder a freguesia; se, por outro lado, eu começar a vender os mais baratos, será difícil vender os mais caros. Devo, então, vender as duas partidas ao mesmo tempo”. Daí para a solução foi um passo: se ele vendesse dois por 10 000 e depois três por 10 000, seria o mesmo que vender cinco a 20 000.

Então, juntou todos os abacaxis, separou-os em lotes de cinco e os colocou à venda por 20 000. O raciocínio parece correto. Porém, com sessenta frutos formam-se doze lotes de cinco, que vendidos a 20 000 cada um resultam em 240 000 e não em 250 000. Faltam 10 000. E agora? Nesse momento, meus novos amigos da loja não quiseram ouvir mais nada e combinamos nos encontrar no sábado seguinte para juntos tomarmos uma caipirinha e resolvermos a questão dos abacaxis. Tente você também e, se quiser, escreva-nos. Você vai ver como podem ser saborosos os abacaxis das soluções dos problemas.