Em busca do infinito

Luiz Barco

Um dos capítulos mais fascinantes da Matemática é o que trata dos números infinitos. Na história do xadrez, ficou famoso o lendário pedido que o inventor do jogo fez ao rei: um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela segunda, quatro pela terceira e assim por diante, dobrando a quantidade de grãos, até a sexagésima quarta casa. Nem todo o trigo do mundo poderia pagar o pedido de quase 18 e meio quintilhões de grãos. Em linguagem matemática, o sábio pediu:

1+2+4+8+ 16+… +2 elevado 83

que pode também ser escrito assim

1+2+2 elevado 2+2 elevado 3+2 elevado 4+…+2 elevado 83,

com a fórmula matemática que permite calcular a soma dos elementos de uma progressão geométrica finita, chega-se ao resultado 264 -1, que corresponde aos quase 18 e meio quintilhões de grãos (um número com vinte dígitos).

Numa nova versão da lenda, o rei era assessorado por um hábil matemático que tramou o seguinte ardil: ofereceu ao inventor uma oferta ainda mais generosa, ou seja, no lugar de um tabuleiro de 64 casas, por que não um número infinito? Assim, a nova dívida real seria

S = 1+2+2 elevado 2+2 elevado 3+…+2 elevado 83+2 elevado 84+2 elevado 85+…

(263 representa o número de grãos na casa 64; 264, na casa 65; e assim por diante…) Logo depois que o atordoado inventor aceitou o pagamento, o assessor veio com outra proposta: dobraria o valor da nova soma, imediatamente aceita. Ora, sabe-se que o dobro de uma soma equivale à soma do dobro de cada parcela. Assim, se K = a + b+c, então:

2k = 2(a+b+c) = 2ª+2b+2c

Logo, o dobro da soma S será

2S = 2(1+2+2 elevado 2+2 elevado 3+…+2 elevado 83+2 elevado 84+2 elevado85

Ou seja,

2S = 2+2 elevado 2+2 elevado 3+2 elevado 4+…+2 elevado 83+2 elevado 84+2 elevado 85 +2 elevado 86…

Nota-se que em 2S aparecem todas as parcelas de S a partir da segunda parcela. Como se considerou que S já estava “paga”, calculou-se 2S-S, para se obter o valor (D) da dívida real para com o inventor.

Assim, todas as demais parcelas (infinitas) são canceladas, 2 elevado 2 com -2 elevado 2, 2 elevado 4 com -2 elevado 4 etc. No final das contas, o pobre criador do xadrez acabou ainda devendo um grão ( -1) de trigo ao rei. É claro que tal artifício não faz justiça à sagacidade original da história, embora pareça que encerre um· grosseiro erro de aritmética elementar. No entanto, ele é absolutamente verdadeiro. O problema é estender, sem maiores cuidados, para somas infinitas, processos sabidamente válidos para somas finitas.

Uma idéia básica da Aritmética é a do número cardinal – duas coleções que possam ser colocadas em correspondência, uma a uma, têm o mesmo número de elementos. Assim, o dia e a noite, um casal de namorados, um par de pássaros, ou qualquer conjunto que possa ser posto em correspondência um a um com estas coleções, são instâncias do mesmo número…

o primeiro é a sucessão dos números naturais, o segundo é a dos números pares. Para se comparar esses dois conjuntos, basta emparelhar seus elementos – sempre se obtém um número par dobrando-se um número natural; e sempre se obtém um número natural, tomando-se a metade de um número par. Logo, se conclui que existe a mesma quantidade de números naturais e pares, ou seja, que os dois conjuntos têm o mesmo número de elementos. No entanto, um deles (o conjunto dos números pares) é somente uma parte do outro conjunto (dos números naturais).

Aqui, abandona-se uma “verdade eterna” postulada pelo geõmetra grego Euclides (300 a.c.) e reiterada pelo filósofo francês Henri Bergson (1859-1941): “O todo é sempre maior que a parte”. Quando o todo é um conjunto infinito, ele pode muito bem ser igual à parte. Tal idéia não escapou a Galileu que, por volta de 1636, emparelhou, um a um, os pontos de um segmento de reta curto com os pontos de outro mais longo.

Com a sua linguagem, concluiu: “A linha mais longa não tem mais pontos que a linha mais curta”. Não ousou afirmar que tinham o mesmo número de pontos. Só o matemático alemão Georg Cantor (1845-1918) ousou fazê-lo. Como diz David Hilbert (1862-1943), matemático alemão: “Nenhum outro problema afetou tão profundamente o espírito do homem; nenhuma outra idéia tão fertilmente estimulou seu intelecto; nenhum outro conceito necessita de maior esclarecimento do que o infinito”.

Para saber mais: SuperMundo

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