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Ir a Lua cortando Papel

No dia 3 de novembro do ano passado assistimos, entusiasmados ou indiferentes, ao eclipse do sol. O campus da Universidade de São Paulo, embora aparentemente normal, abrigava uma porção de gente com radiografias na mão. Esperavam acompanhar o fenômeno com os olhos menos desprotegidos, como havia sido recomendado pela imprensa e pela TV.

O difícil, naquela bela manhã, era deixar de participar de alguma conversa que tratasse do evento. Foi, de fato, muito interessante variar de grupo, e assim perceber as múltiplas interpretações que um mesmo acontecimento pode suscitar. Não faltou até quem, por conta do anoitecer precoce, quisesse prever o fim dos tempos.

No meio dessa parafernália opinativa, uma moça olhava o céu através de uma folha dupla de radiografias.

Depois de algum comentário do tipo “puxa, que beleza!”, tornou-se pensativa, para, a seguir, dizer:
– Será que o homem realmente foi até lá?

É evidente que ela estava expressando uma dúvida, aliás muito mais freqüente do que se imagina, ,sobre a ida dos astronautas à Lua. Deixar este planeta tem sido, desde muito, uma aspiração expressa ou velada, do homem comum, do cientista e do poeta. Passamos assim do eclipse para uma viagem imaginária – ao nosso satélite. Nosso objetivo era ir à Lua. Já que a viagem é imaginária, vamos apanhar tudo o que é necessário para essa longa viagem. Que tal uma folha de papel sulfite?

Acho que você concorda que cinco centímetros é a espessura aproximada de um pacote com 500 folhas de papel sulfite. Pois bem, vamos pegar uma dessas folhas, dobrá-la ao meio e cortá-la. Temos agora duas metades e se repetirmos a dose vamos ter quatro pedaços (de um quarto de folha cada um). Observe no quadro abaixo que os pedaços vão se tornando menores (em tamanho), mas a cada operação dobramos a quantidade de pedaços que tínhamos antes.

Por outro lado, a distância média da Terra à Lua é da ordem de 3,8 X 105 quilômetros. Acho aceitável pensarmos que 3,8 X 105 quilômetros é o mesmo que 3,8 X 1010 centímetros e como cada centímetro corresponde a 100 folhas (ou seja, 102 folhas), teremos 3,8 X 1012 folhas empilhadas = distância média da Terra à Lua.

Se você calcular 210 = 2 X 2 X 2X2X2X2X2X2X2X2=1024, verá que é uma boa aproximação de 1 000, que vale 103. Logo, 210 é aproximadamente igual a 103 (210 = 103)
Assim, a distância média da Terra à Lua (3,8 X 1012 folhas) pode ser escrita com uma boa aproximação: 3,8 X 1012 folhas 3,8 X (103)4 folhas 3,8 X (210)4 folhas = 3,8 X 240 folhas. E como 3,8 é quase 4 (ou quase 22), tal distância é da ordem de 242 folhas.

Vamos voltar para nossa viagem. Se uma folha é dividida em duas, cada uma das metades obtidas também em duas, e assim por diante, quando tivermos repetido a operação (dobrar e rasgar) 42 vezes, vamos obter uma pilha de pequenos papéis que irá daqui à Lua. Basta agora subirmos nesta imensa pilha…

Este surpreendente resultado de duplicação consecutiva chega a nos assustar, pois a maioria da pessoas julgaria necessárias milhões ,de operações de dobrar… e, afinal, são apenas 42. .