Jogo Torre de Brahma: a torre do fim do mundo

Num grande templo em Benares, Índia, há uma placa onde estão fixados três pinos de diamante.

Conta a lenda que num deles, no momento da criação, o deus Brahma colocou 64 discos de ouro puro, o maior deles na base e os restantes na ordem decrescente de tamanho até o topo. Essa é a Torre de Brahma, em que dia e noite, incessantemente, os monges se revezam transferindo os discos de um pino para outro, obedecendo às leis imutáveis fixadas pelo maior dos deuses do hinduísmo. Segundo elas, só se pode transferir um disco por vez, de modo que jamais um menor seja posto sobre um maior. Quando os 64 discos forem transferidos do pino em que Deus os colocou para qualquer um dos outros dois, torre, templo e brâmanes virarão pó e, com um estrondo, o mundo desaparecerá.
Essa curiosa história acompanhava um quebra-cabeça vendido pela primeira vez em 1883. Na verdade, Brahma não teve nada a ver com ele, pelo menos não diretamente. Seu criador foi Edouard Lucas (18421891), um matemático francês que deixou importantes trabalhos no campo da matemática recreativa. Na época, ele adotava o pseudônimo Professor Claus, do co légio Li-Sou-Stian, que nada mais eram que anagramas de Lucas e de colégio Saint- Louis.

Desde 1883, a Torre de Brahma tem sido fabricada intermitentemente pelas indústrias de brinquedos. No Brasil, faz bastante tempo que a vi em lojas. Era uma versão em plástico produzida pela Xalingo, uma empresa de Santa Cruz do Sul, Rio Grande do Sul. Não sei se ainda está disponível, mas, seja como for, não é difícil improvisar uma em casa. Para quem tem talento para trabalhos manuais, ela pode inc1usive ser pretexto para a criação de um enigmático objeto decorativo – que tal, por exemplo, um conjunto de porta-copos com dupla função?

Contudo, infelizmente, Brahma manifesta-se tanto na nobreza do ouro, quanto na simplicidade do papel e, para se divertir com sua torre, o leitor terá apenas o trabalho de recortar alguns discos de cartolina e desenhar três bases numa folha. Se preferir, pode usar cartas de baralho, substituindo a seqüência de tamanhos por uma seqüência numérica. Criatividade sempre é bem-vinda: lembro-me de um filme com Marcello Mastroianni em que seu personagem mostrava uma versão sueca. uma espécie de torre às avessas, na qual os discos foram substituídos por calotas esféricas que eram embutidas umas dentro das outras, as menores selJ1pre por baixo das maiores.

E melhor fixar os pinos na base de modo que formem um triângulo (figura 1), por uma razão que veremos mais adiante. Quanto ao número de discos, a decisão é responsabilidade do leitor. Porém, desde que ele deseje chegar à solução ainda nesta vida, convém ser pouco ambicioso. Como exemplo, se a história de Brahma fosse verdadeira e os monges conseguissem manter a média de uma passagem de disco por segundo, ininterruptamente, eles levariam cerca de 5,8 bilhões de séculos para transferir os 64 discos de um pino para outro!

A figura 2 mostra uma tabela que relaciona o número de discos à quantidade de passagens necessárias. A fórmula para calculá-las é 2° – 1, onde n é o número de discos (o quebra-cabeça de Lucas tinha 8). Por ela, vemos que os monges teriam de cumprir com fiel resignação nada menos que, 18.446.744.073.709.551.615 passagens. E curioso mencionar que esse número também está presente em outra lenda, dessa vez relacionada ao xadrez. Segundo ela, o inventor do jogo teria pedido a um rei, como recompensa pela invenção, 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta e assim por diante até a 64.8 casa. A princípio, o pedido foi considerado modesto e até tolo pelo soberano, que apressadamente concordou. A lenda não conta como ele teria saldado a impagável dívida.

A solução da Torre de Brahma não é difícil, mas trabalhosa. Para o iniciante, é muito fácil desorientar – se no meio do processo, ficando confuso sobre qual disco mover e para onde. Entretanto, há um método seguro que se torna facilmente perceptível, quando os pinos são dispostos numa formação triangular, como a que se vê na figura 1, onde estão identificados pelas letras A, B e C. Se os discos se forem numerados de 1 em diante, a partir do menor, bastará transferir os ímpares no sentido horário e os pares no anti-horário. Em cada passagem, o disco deve sair de um pino e entrar em outro imediatamente adjacente. Sempre que houver mais de uma transferência possível, deve-se escolher aquela que move o disco maior.

De acordo com essa regra prática, supondo-se que a torre esteja inicialmente em A, o primeiro movimento seria disco 1 para B; o segundo, disco 2 para C; o terceiro, disco 1 para C (sobre o número 2). No quarto movimento, há duas alternativas: disco 1 para A, ou disco 3 para B. Como a regra impõe nesses casos, ficamos com o disco maior: disco 3 para B. Prosseguido-se desse modo, acaba-se transferindo com segurança toda a torre. Não sabemos se os monges conhecem esse método, mas isso não importa. Mesmo que não errem nenhum movimento, o mundo tem a existência garantida por um bom tempo.

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