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Mil maneiras de contar

Nosso sistema de numeração segue a base 10, mas ela não é a única possível.

Por Da Redação Atualizado em 31 out 2016, 18h47 - Publicado em 31 ago 1998, 22h00

Luiz Barco

Ao explicar a solução de um problema, na última edição desta coluna, toquei num assunto que despertou a curiosidade de alguns leitores, que me procuraram em busca de mais detalhes. O interesse era sobre as bases dos sistemas numéricos e achei que valia a pena esticar um pouco a conversa sobre elas neste mês.

Comecemos pelo nosso sistema. Ele é de base 10, o que significa que usa dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Observe que não há um símbolo para o 10. O 10 é o primeiro número de uma segunda ordem. Nele, o algarismo 1 é como uma caixinha que contém os dez elementos da primeira ordem. O zero indica que são os dez mais zero. Assim, 11 é igual a um (1) grupo de dez e mais 1; 12 é igual a um (1) grupo de dez e mais 2; 13 é igual a um (1) grupo de dez e mais 3; e assim por diante.

Num sistema de numeração como o nosso, mas cuja base fosse 7, por exemplo, teríamos somente sete símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Como estamos usando nossos velhos e conhecidos símbolos, você poderá atrapalhar-se. Fique atento, portanto: é como se, em lugar de usar a caixinha (segunda ordem) para guardar os grupos de dez unidades, nós a usássemos para guardar sete unidades. Veja como:

0 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15 16 20 21…

Quando pensamos numa base menor do que 10, temos que abolir alguns símbolos (repare que na base 7 não existem 7, 8 e 9). Ora, da mesma forma, se a base for maior do que dez, teremos que inventar novos símbolos. Por exemplo, na base 13:

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y z 10 11 13 14 15 16 17 18 19 1x 1y 1z 20 21 22 23…

O x deste sistema é o 10, o y é o 11 e o z é o 12. Assim, o 13 na base 13 é 16 (uma caixinha de treze mais três) e o 1y é 24 (uma caixinha de treze mais onze unidades).

Gostou? Então invente outras bases. E, se quiser, tente resolver o problema apresentado no mês passado, que vou repetir agora. Ele se baseia na seguinte adição:

Leve em conta que os três números (ABCD, DCBA e qqqq) possuem os mesmos algarismos, só muda a ordem em que eles aparecem. No primeiro, ela é crescente e os algarismos, consecutivos; no segundo, descrescente; no terceiro, desconhecida.

A soma, que tem uma solução correta no nosso sistema, também estará correta no sistema de base A + B + D. Na base 13, por exemplo, dá certo, pois 3 + 4 + 6 = 13. Então,

Sei que o exemplo é simples, mas queria apenas mostrar que aprendemos o sistema de numeração decimal ainda muito pequenos e nunca mais nos preocupamos com isso. Depois de ler este artigo, certamente você não vai sair por aí fazendo cálculos na base 5 ou na base 17. Mas também não vai ficar pensando que nosso sistema é o único que pode existir.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo

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