Não é o que parece

A matemática explica por que certos arranjos geométricos nos confundem.

Por Da Redação SEGUIR SEGUINDO
Atualizado em 31 out 2016, 18h48 - Publicado em 31 dez 1998, 22h00

Luiz Barco

Que as aparências enganam todo mundo sabe. A precisão da Matemática e da Geometria também pode ser usada para ludibriar os incautos. Não faz muito tempo uma aluna tentou me pregar uma peça geométrica. Estávamos preparando uma oficina de criação na universidade quando ela apanhou uma folha de papel quadriculado, riscou um quadrado com oito quadrículas de lado e o dividiu da seguinte forma:

Como você pode notar, ela desenhou dois trapézios de mesma área e dois triângulos retângulos também de área equivalente. Depois, pegou uma tesoura, recortou cuidadosamente cada figura geométrica e montou com elas o retângulo que você vê na ilustração abaixo:

“Grande coisa”, você talvez esteja pensando. Mas olhe de novo. Repare que a primeira figura tem oito quadradinhos de lado, ou seja, 64 unidades quadradas de área. Já a segunda é um retângulo com treze quadrículas de comprimento por cinco de largura, ou seja, 65 unidades quadradas de área. Como é possível que tenha surgido uma quadrícula a mais?

Creio ter decepcionado a minha interlocutora, pois eu já conhecia a mágica. A primeira referência a ela costuma ser atribuída a um razoável lógico-matemático, o inglês Charles L. Dodgson (1832-1898), que foi professor de Matemática do Christ Church College, da Universidade de Oxford, na Inglaterra. Aliás, uma das filhas do decano dessa faculdade parece ter inspirado Dodgson a escrever sua obra mais conhecida, Alice no País das Maravilhas, que ele assinou com o pseudônimo pelo qual é mundialmente famoso: Lewis Carroll.

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Em várias de suas brincadeiras matemáticas, o escritor usou a seqüência de Fibonacci, apelido do matemático italiano Leonardo Pisano, que viveu mais ou menos entre 1170 e 1250. Nessa seqüência, cada elemento é a soma dos dois imediatamente anteriores (1,1,2,3,5,8,13,21,34…). Note que as dimensões do quadrado e o ponto dos cortes (veja na figura 1) que formam os trapézios e os triângulos – 3, 5 e 8 – formam uma terna fibonacciana (3+5=8). Qualquer retângulo montado dessa maneira terá sempre uma quadrícula a mais que o quadrado original.

Os olhos podem não ver, mas a Matemática não mente. Na hora de formar o retângulo, os trapézios e os triângulos não se encaixam tão perfeitamente quanto parece. Como a diferença é muito pequena, torna-se imperceptível. Onde ela está, exatamente? Na verdade, os pontos A, B, C e D da figura 2 não estão numa mesma reta. As linhas que os ligam formam os lados de um paralelogramo muito estreito, que fica escondido na falha do encaixe. Ele tem a mesma área de uma quadrícula. Distorcendo a figura, seria algo assim:

Como você vê, a mágica são esses pequenos truques da imaginação e da inventividade de artistas como Lewis Carrol. Capazes, com suas obras, de nos fazer admirá-las e sonhar.

Luiz Barco – Professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo