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O melhor amigo do homem

Adote um problema de estimação. Ele poderá acompanhá-lo por boa parte de sua vida

Luiz Barco

Não custa nada, não precisa vacinar e é um grande companheiro na sala de espera do dentista. Pode ter certeza, o melhor amigo do homem é mesmo o problema de estimação. Outro dia um amigo apresentou-se o dele. Dizia: “Ordene quatro objetos de pesos diferentes fazendo apenas três pesagens”. Depois ele me contou que carregava o “amigo” desde a infância. Sabe-se lá quantas aulas perdeu (ou ganhou, talvez) tentando resolvê-lo. Conversa vai, conversa vem, encaminhamos juntos uma solução. E, para que ele não se sentisse muito só sem o seu problema, agora resolvido, dei-lhe o meu. Essa é uma das vantagens de se ter um problema de estimação. Você pode oferecê-lo aos amigos e continuar com ele. E o melhor: dia desses voltei a pensar naquelas pesagens e descobri que nossa solução não era completa. Agora tenho dois ótimos passatempos.

Por tudo que acabo de contar, fiquei em dúvida sobre se deveria responder a uma carta do leitor José Donizete, de São Paulo. Mas, já que ele quer, vamos lá. Donizete contou que aos 8 anos (hoje tem 29) foi desafiado pelo cunhado a ligar três casas a três centrais (de água, de luz e de telefone), sem que as ligações se cruzassem. O cunhado garantiu que havia uma solução e desde então Donizete tenta encontrá-la.

Quando li a carta, tive uma surpresa. Esse também já foi um de meus problemas de estimação. Ele me foi apresentado em Itararé, interior de São Paulo, lugar onde nasci e onde conheci um dos mais exuberantes professores de Matemática com quem já tive contato, Pedro Nabuco Gambale, que deu aulas na escola Politécnica da Universidade de São Paulo, engenheiro, enxadrista, fotógrafo, baterista, são-paulino e treinador de basquete. Recentemente ele foi convocado pelo Pedrão. Deve estar no céu, ensinando aos meninos que lá chegam. Sabe, Donizete, o Gambale mostrou-me com grande clareza que o problema das casas não tem solução. Seu cunhado estava enganado.

Se quiser, dê uma olhada no artigo “O problema das ligações de água, luz e telefone. Uma aplicação da fórmula de Euler”, de João Bosco Pitombeira, no número 11 da Revista do Professor de Matemática. Ou veja o texto de Elon Lages de Lima, que saiu no número 12 da mesma publicação.

O raciocínio é o seguinte: considere inicialmente duas casas X e Y e duas centrais A e L, de água e luz. A ligação pode ser feita assim:

Trata-se de um quadrilátero XAYL, cujos lados podem ser curvilíneos. Observe que há duas regiões, uma interior e outra exterior. Para a discussão que se seguirá podemos colocar

a central T, de telefone, em qualquer uma das regiões. Como não faz diferença, vamos colocá-la na região exterior.

Ao ligarmos a central T às casas X e Y vamos obter dois “quadriláteros curvos” adjacentes, XAYL e XLYT, os quais separam o plano em três regiões: I, exterior aos dois quadriláteros; II, interior ao quadrilátero XAYL; e III, interior ao quadrilátero XLYT.

A terceira casa, Z, deverá estar em uma dessas regiões. Mas se ela for colocada em I não terá acesso à central L; se ficar em II, não alcançará T; e se ficar em III não se ligará com A. Portanto, não é possível fazer as nove ligações sem que se cruzem. Bem, Donizete, agora você já pode dormir em paz. Ou, se tiver insônia, tente resolver o problema de ordenar os pesos. Boa sorte!

Quantos eram os ovos?

Leia na página XX a solução para o problema sobre os ovos quebrados proposto na edição passada.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicação e Artes da Universidade de São Paulo