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Um problema para o carteiro

Mas que pode agradar a professores, estudantes, poetas e qualquer um que se interesse em procurar sua resposta.

Luiz Barco

Escrever esta coluna tem sido uma fonte quase inesgotável de agradáveis surpresas. Vez por outra, encontro-me com um leitor da SUPER e tenho podido sentir um grande carinho por parte de todos eles. Isso não quer dizer que eu não receba também algumas críticas. A mais recente veio do carteiro que trabalha na rua onde moro, o Paulo. Ao entregar o exemplar da revista que gentilmente a Giselda, secretária da redação, me envia todos os meses, ele falou com Maria, minha esposa: “Diga ao professor que eu assino a revista e gosto muito de resolver os probleminhas que ele coloca na sua coluna. Mas os últimos andam muito difíceis. Peça para ele escrever um problema pro carteiro!”

Bem, a Maria me deu o recado e eu devo dizer que fiquei muito satisfeito de descobrir que o Paulo é meu leitor. Para atender ao seu pedido recorri ao número 12 da Revista do Professor de Matemática, uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática. Lá o pesquisador Elon Lages Lima conta que o problema do qual trataremos aqui foi originalmente apresentado no ano 629, pelo matemático hindu Bhaskara. Depois ressurgiu na Idade Média e no Renascimento pelas mãos dos matemáticos italianos Fibonacci (1175-1240) e Tartaglia (1499-1557), respectivamente, e pelas dos franceses Trenchant (em 1558) e Bachet (em 1612). E nesse vaivém, de tão bom que é, manteve-se lembrado até hoje. Enfim, vamos a ele.

Uma senhora vendia ovos no mercado. Certo dia, dois homens descuidados a empurraram, quebrando toda a sua mercadoria. Ela procurou o juiz, que sentenciou os responsáveis pelo desastre a ressarcir o prejuízo. “Quantos eram os ovos?” quis saber o juiz. A mulher respondeu: “Não sei. Sei apenas que contando-os de dois em dois, de três em três, de quatro em quatro, de cinco em cinco ou de seis em seis, sempre sobrava um. Mas contando-os de sete em sete não sobrava nenhum”.

Muitos de vocês certamente vão perceber que vários números naturais satisfazem as condições do problema. E terão razão, pois se contado de dois em dois, de três em três etc… até de seis em seis, sempre sobra um. Isso quer dizer que o número de ovos só pode ser o sucessor (tem um a mais) de um número que é, ao mesmo tempo, múltiplo do 2, do 3, do 4, do 5 e do 6. Com um pouco de imaginação pode-se descobrir uma grande coleção de números que são simultaneamente múltiplos de 2, 3, 4, 5 e 6. Bem, bastará pensar no novo conjunto de números que têm todos uma unidade a mais que o números da coleção obtida (seus sucessores).

Epa! Mas estamos esquecendo um detalhe. A mulher disse que quando contados de sete em sete não sobrava nenhum ovo. Então, devemos verificar na nova família de números que satisfazem as condições anteriores aqueles que também satisfazem esta condição. Acho que ainda é uma grande família! Descobri-la é tarefa para vocês e para o Paulo.

Mas como eu sei que por alguma estranha razão as pessoas parecem gostar mais de problemas que admitem uma única solução, um vício que, creio, se adquire na escola, vamos fazer uma pequena modificação na resposta da mulher, no enunciado: “Sei apenas que corresponde ao menor número natural que contado de dois em dois, de três em três, de quatro em quatro, de cinco em cinco e de seis em seis, sempre sobrava um. Mas contando-os de sete em sete, não sobrava nenhum.”

Agora eu posso assegurar-lhes que só há uma resposta, que publicaremos na próxima edição da SUPER. E aproveito para lembrar algo que já disse em outras ocasiões. Não existem problemas para professores de matemática e nem para alunos, ou para poetas ou carteiros. O que existe são problemas interessantes que motivam as pessoas a, prazerosamente, procurar uma resposta.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicação e Artes da Universidade de São Paulo