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Estudantes de ensino médio descobrem dez provas para Teorema de Pitágoras

O trabalho de Ne'Kiya Jackson e Calcea Johnson surpreendeu matemáticos do mundo inteiro por usar trigonometria, algo considerado impossível por dois milênios.

Por Bela Lobato
Atualizado em 1 nov 2024, 20h07 - Publicado em 1 nov 2024, 19h00

Essa é uma história sobre como uma escola dos EUA ofereceu US$ 500 para os alunos que solucionassem uma questão bônus de matemática, e não avisou a eles que a questão era considerada impossível por matemáticos há dois mil anos. E aí, duas estudantes seguiram exatamente o clichê do poeta francês Jean Cocteau: não sabendo que era impossível, foram lá e fizeram. 

O problema em questão é a o teorema de Pitágoras, que talvez você conheça (mesmo que por meio de uma música dos Mamonas Assassinas). Ele que afirma que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos lados mais curtos, os catetos, é igual ao quadrado do lado mais longo, a hipotenusa.

Ilustração do teorema de Pitágoras
(desifoto/Getty Images)

O teorema de Pitágoras é um dos pilares da trigonometria, a parte da matemática que estuda as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos.

Por muito tempo, acreditou-se que seria impossível provar esse teorema utilizando a própria trigonometria, já que as fórmulas fundamentais dessa área do conhecimento se baseiam na suposição de que o teorema é verdadeiro. Assim, provar o teorema com trigonometria constituiria uma falha de lógica conhecida como raciocínio circular.

Isso deixou de ser verdade em 2009, quando o matemático experiente Jason Zimba publicou a primeira prova trigonométrica do teorema de Pitágoras. Entretanto, algumas das provas publicadas agora são completamente inéditas.

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Você se lembra daquele momento do 7 x 1, em 2014, quando não era claro se o locutor estava anunciando um gol novo ou era replay de um anterior? É assim que os matemáticos do mundo devem estar se sentindo: já era chocante que, em 2022, duas estudantes do ensino médio tenham conseguido uma “prova impossível” para um problema de dois mil anos. Mas, não satisfeita, a dupla acaba de anunciar a criação de mais nove.

A primeira solução proposta por Ne’Kiya Jackson e Calcea Johnson, que estavam no último ano do ensino médio, utilizava a Lei dos Senos.

“Motivadas por um prêmio de US$ 500, decidimos assumir a questão de forma independente. Ela se mostrou muito mais difícil do que imaginávamos, e nós passamos longas noites tentando e falhando em criar uma prova”, contam as autoras em um novo artigo, publicado na revista The American Mathematical Monthly.

Um mês depois, com uma primeira versão em mãos, elas tiveram a ajuda de um professor voluntário de matemática da escola, Mr. Rich. Ele as ajudou a melhorar a proposta e, no começo de 2023, elas a apresentaram em um congresso da Sociedade Americana de Matemática.

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Ninguém tinha certeza se a teoria das duas se sustentaria ao ser testada em outros contextos. No novo artigo, publicado na última segunda-feira (28), as duas provaram que a solução foi aprovada após revisão de matemáticos experientes.

Mas elas não pararam por aí: as duas também delinearam mais quatro novas maneiras de provar o teorema de Pitágoras usando trigonometria, bem como um novo método que revelou mais cinco provas, totalizando 10 provas.

No artigo, Jackson e Johnson afirmam que há duas maneiras de apresentar a trigonometria e suas funções seno e cosseno, mas essas versões são frequentemente confundidas em uma só. Isso porque o seno e o cosseno podem ser apresentados de acordo com o método trigonométrico ou com um método que usa polinômios de números complexos.

Essa confusão significa que “tentar entender a trigonometria pode ser como tentar entender um quadro em que duas imagens diferentes foram impressas uma sobre a outra”, escreveram Jackson e Johnson. Ao separar os dois métodos, elas afirmam que podem descobrir “uma grande coleção de novas provas do teorema de Pitágoras”.

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Em comunicado, as duas manifestaram surpresa com terem conseguido chegar tão longe. “Fiquei bastante surpreso por ter sido publicado.”, disse Jackson. 

“Ter um artigo publicado em uma idade tão jovem é realmente alucinante”, disse Johnson. “Estou muito orgulhosa por nós duas podermos ser uma influência tão positiva ao mostrar que mulheres jovens e mulheres negras podem fazer essas coisas.”

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Um detalhe muito fofo da história é a seção da mini biografia das autoras ao fim do artigo, onde os acadêmicos geralmente descrevem seus feitos de destaque.

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A seção sobre Calcea Johnson é mais completa: ela cursa engenharia ambiental na Louisiana State University e lista alguns destaques como o de ter sido oradora da sua turma do ensino médio e eleita “acadêmica negra do ano” pela grupo de professores e funcionários negros de sua universidade. Ao fim, acrescenta: “em seu tempo livre, seus hobbies incluem jogar videogame, ouvir K-Pop e assistir a musicais.”

Já a parte sobre Ne’Kiya é sucinta: apenas diz que ela “atualmente estuda farmacologia na Xavier University of Louisiana. Ela gosta muito de gatos e coelhos. Em seu tempo livre, adora jogar bilhar, assistir a animes e ler mangás.” 

As duas viraram manchete pelo mundo e receberam as chaves da cidade de Nova Orleans. A história de Jackson e Johnson parece ter inspirado por todos os lugares: até a editora-chefe da revista acadêmica, Della Dumbaugh, fez uma consideração pessoal no final do artigo. 

Ele conta que torceu muito para que as meninas escolhessem a revista para a submissão e que, quando isso ocorreu, o conselho editorial da revista preparou diversos materiais de orientação sobre o processo de publicação. Depois, quando o artigo voltou, comentado pelos revisores, os editores produziram um guia de como interpretar os comentários e sugestões. 

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“Esses jovens autores responderam aos relatórios dos revisores com a delicadeza de profissionais de longa data da área.” escreveu Dumbaugh. “Tudo isso para dizer que não apenas me sinto honrada pelo fato de as autoras terem confiado seus importantes resultados à Monthly, mas também profundamente grata pelo trabalho de bastidores do Conselho Editorial da revista.”

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