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Uma calculadora maluca

Aprenda como usar a Geometria para multiplicar ou dividir dois números com uma maquininha que não tenha essas teclas.

Luiz Barco

1. Imagine uma calculadora defeituosa que está com a tecla “X” quebrada. Agora suponha que você precise multiplicar dois números com ela. Parece impossível, mas não é. Para começar, vamos chamar os números que queremos multiplicar de “a” e “b” e representá-los por dois segmentos de reta.

2. Façamos agora a representação geométrica do quadrado de a + b, lembrando que a área de um quadrilátero é calculada pelo produto da base pela altura. Algebricamente, é o seguinte: (a + b)2.

3. Note que, ao dividir a figura em quadriláteros menores, obtivemos dois quadrados com as áreas a2 e b2, além de dois retângulos de área ab (em cinza). Dá para concluir pela ilustração que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Portanto, 2ab = (a + b)2 – a2 – b2. Com esta fórmula, basta usar as teclas que estão funcionando. Você vai descobrir o valor de 2ab. O resultado, porém, será o dobro do produto dos números e o que queremos descobrir é o valor de a X b. Bastará, então, pegar o resultado e usar o botão de dividir para chegar ao ao resultado final.

Professor da Universidade de São Paulo (USP) e da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)

matematica@abril.com.br

Algo mais

A equação que se tirou da figura é chamada em Álgebra de produto notável. A regra é simples: o quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro multiplicado pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Teste sua fantasia com este problema. Quem sabe é super

Desafio você a ir mais longe. Para resolver a questão acima, no final usamos o botão de dividir da calculadora. Então, suponha agora que a tecla de dividir estivesse quebrada. Como você faria para resolver esse problema?

A solução está na página 103.

Como se virar sem a informática

Como meus caros leitores estão cansados de saber, sou um velho professor e, como todo professor um tanto à antiga, daqueles que ainda acreditam que seja salutar a todo mundo saber (e bem) fazer contas – isto é, dominar as quatros operações fundamentais. Toda criança deveria experimentar a alegria de dominá-las, talvez até antes de saber escrever, pois o senso numérico nos é inato e, ao que parece, expressá-lo precedeu a escrita na infância da nossa cultura.

É claro, porém, que não desprezo as conquistas da computação. Também não posso ignorar que a tecnologia moderna está mudando a pedagogia da Matemática. Afinal, seria uma heresia dizer que uma régua de cálculo era melhor do que uma calculadora. A banalização da informática faz com que qualquer estudante de primário possua uma maquinha dessas. Isso é bom, mas tem a desvantagem de criar gerações de indivíduos tão dependentes delas que não conseguem sequer fazer com o lápis a divisão da conta de um restaurante sem ficar em dúvida.

A calculadora maluca prova que a Matemática é tão mágica que consegue multiplicar somando e dividir multiplicando. Encontrei esse problema no livro de Brian Bolt, editado em 1992 pela Cambridge University Press com o título original de Mathematical Cavalcade (Cavalgada Matemática). Propus o mesmo aos meus alunos de Jornalismo e, com surpresa, vi uma garota (que, aliás, também estuda Arquitetura) resolvê-lo em parte pela geometria.

Quando eu elogiava a menina pela solução que você viu acima, alguns colegas reclamaram. Uma dessas reclamações merece atenção. Era a de um garoto que teimava em dizer que, para multiplicar 3 por 7, bastava somar três vezes o sete. Bem, de fato, é uma solução. Mas você há de convir comigo que seria um tanto cansativo se quiséssemos efetuar 3 478 196 x 7 523 984. Por isso, reafirmo que nada tenho contra as maquinhas de calcular. Mas não custa nada saber como se virar sem elas.