A Matemática no tempo das pombas falantes

Luis Barco

Bom dia, minhas cem pombas”. Disse o gavião a um bando de avezinhas que passavam”. Cem pomba não somos nós”.disse uma delas.”Para sermos cem é necessário outro tanto de nós, mais metade de nós, mais a quarta parte de nós, e contigo, gavião, cem aves seremos nós.” Este é um típico problema daqueles manuais antigos de aritméticas,que vinham recheados de curiosidades, cuja importância os modernos teimam em não enxergar ou sentir seu sabor. Hoje, banidas a geometria e a aritmética dos nossos cursos elementares pela formação míope que nos é imposta, os problemas são resolvidos, quando o são, pela tradução algebrizada dos seus enunciados.
Mas, apesar de tudo, tais questões continuam a estimular um grande numero de pessoas.

Prova disso foram os numerosos telefonemas e cartas de leitores que recebi a propósito da Edição Especial de jogos da revista SUPERINTERESSANTE, solicitando referencias sobre os problemas que ali apresentei. Um deles me procurou a propósito de uma das muitas curiosidades que o professor Mello e Souza publicou no livro Diabruras da Matemática, de 1943. De algum modo, o leitor ficou intrigado com uma propriedade de numeros9.99.999.9999,etc. é mais ainda com a declaração do autor que finalizava com um comentário mais ou menos assim.”Peça a um amigo bom em matemática pra explicar a razao dessa estranha propriedade matemática. A explicação deve ser dada em dois minutos e meio”. O jovem, interessado, na matéria, reproduziu a brincadeira, mas ficou insatisfeito, pois não chegou á solução rapidamente de algarismos nove -999, por exemplo.

Ache um múltiplo qualquer desse numero- por exemplo, 17x 999, sujo resultado é 16 983. Adicione um numero qualquer ao resultado anterior(315)16983+315=17298. Separe o numero formado pelos três últimos algarismos (298) e some com numero formado pelos algarismos restantes (17):298+17=315.

O numero resultante, 315, é o mesmo numero que tomamos ao acaso e somamos com 16 983.

Para você se familiarizar, tentemos um novo exemplo, escreva o numero 9999. Encontre um múltiplo qualquer, como 51, por exemplo. Multiplicado por 9999, resulta 509 949. Adicione 874 e você obtém 510 823. Separe o numero formato pelos quatro últimos algarismos (0823) e adicione o numero que restou= 823+51. Essa soma recupera o numero 874, adicionado ao acaso. Observe que, quando tomamos 999, separemos um numero de qualqur algarismos. Isto é, quantidade de algarismos a ser separada é a mesma da quantidade de nove numero inicial. Procure encontrar a razão, porem, pode levar mais de dois minutos e meio. A observação do professor Mello e Souza era apenas uma brincadeira.afinal, a Matemática não é ainda um esporte olímpico e você pode ir melhorando sua marca devagar.

Para ajudá-lo na descoberta, chamo sua atenção para o seguinte: 999 é igual a 1 000 menos 1. Da mesma forma que 9999= 10 000-1. Ou seja, multiplicar um numero k por 99 é o mesmo que multiplicá-lo por 100-1, que resulta no próprio valor de k acompanhado de dois zeros, menos o valor de k com essa dica, você segue sozinho. Mas afinal o que tem tudo isso a ver com o problema das pombas? Repare que, sem o gavião, elas seriam 99 aves e esse total riria corresponder a uma fração imprópria do numero de pombas obtida pela adição 1+1+1/2+1/4.
Faça as contas e conclua que eram 36 as pombas do começo de nossa história se alguém perguntar se o gavião comeu alguma pomba, responda que nosso gavião era vegetariano. Se você se surpreender com isso, lembre-se de que, quando escrevemos, estamos exercendo uma das últimos fatias de liberdade que nos restam: construir no papel e na imaginação coisas que já existiram e não existem mais e outras que nunca existiram, como pombas falantes e gaviões vegetarianos.

Luis Barco é professor da Escola de Comunicação e Artes da Universidade de São Paulo

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