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As Lajotas de Apolônio

Luiz Barco

Convidados a falar na semana da Engenharia da Fundação Paulista de Tecnologia e Educação da simpática cidade de Lins, no interior de São Paulo, fiquei agradavelmente surpreso com o numero de estudantes que lêem a nossa SUPER. Enquanto passeávamos pelas alamedas do campus, eles me perguntaram: “Como você escolher os assuntos?”. Em seguida, . Pouco antes, eu havia visitado a oficina onde os alunos do primeiro ano desenvolvem atividades práticas, como a construção de uma pequena parede, a execução de circuitos hidráulicos e elétricos, ou a criação de peças de argamassa armada. Não pude deixar de elogiar a iniciativa, que tempera com exercícios concretos o excesso de aulas teóricas, e sugeri, como um desafio, que as novas lajotas produzidas por eles – que serão usadas para pavimentar caminhos pelos gramados do campus – fossem decoradas com motivos matemáticos. Um bom tema estético para o novo piso seriam as oito soluções do famoso problema de Apolônio. “Tai”, eu disse, “ o problema de Apolônio pode, muito bem, ser o tema do próximo artigo”.

Os Gregos foram especialistas em formular problemas que nem eles nem as gerações futuras puderam resolver. Alguns casos já foram abordados nesta coluna, como a quadratura do círculo e a duplicação o cubo. Entretanto é grande o numero de problemas clássicos já solucionados e, dentre esses, destaca-se o do geômetra Apolônio de Perga (262-180 a.C.). Eis o problema: dados três círculos, achar um quatro circulo que toque (tangencie) os outros três. Com um pouco de atenção, verifica-se que é um problema simples. Embora envolva alguma engenhosidade, ele possui basicamente oito soluções e todas podem ser traçadas com régua e compasso. São essas soluções que eu imaginei decorando lajotas.

Das muitas formas de pensar o problema de Apolônio, uma, desenvolvida pelo matemático francês Edmond Laguerre (1834-1886), é especialmente imaginosa. Primeiramente, ele introduziu a idéia de ciclo, que é um circulo com uma direção com uma direção.
Você viu que dados três círculos haverá oito círculos que toquem os três. Mas, se forem dados três ciclos, haverá apenas um ciclo que os tocará (dois ciclos se tocam somente quando suas setas têm a mesma direção no ponto de tangencias). Verifique você mesmo que Laguerre tornou única a solução do belo problema de Apolônio e fez dos ciclos a base de uma elegante teoria, conhecida como geometria da direção.