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Pitágoras e a formiga

Saiba a história do inseto que conhecia e usava a geometria muito antes da descoberta do primeiro teorema.

Luiz Barco

1. Qual o caminho que a formiguinha da ilustração acima deve fazer para chegar mais depressa até a última gota de mel que sobrou no pote? Você poderia pensar que ela faria o trajeto pontilhado em azul, mas ela sabe que o mais curto é o tracejado em vermelho, uma vez que a menor distância entre dois pontos é uma reta. Como a gota está do lado de dentro, o bichinho precisa primeiro achar o menor caminho até a borda para entrar no pote.

2. Para traçar esse caminho, suponha que o pote seja de cartolina. Se você cortá-lo de alto a baixo e remover o fundo, ele vai ficar como o retângulo da figura abaixo. Trace uma linha da formiga (F) até o ponto simétrico da gota (G), que chamaremos de G’ (g linha). A reta FG’ é o caminho mais curto até a borda (B). Repare que a união dos pontos FHG’ forma um triângulo retângulo (com um ângulo de 90 graus).

3. Para calcular a distância até o mel, isto é, FB + BG, basta descobrir a hipotenusa (FG’). Sabemos que o cateto FH mede 9 centímetros e que o cateto HG’ tem 12. O Teorema de Pitágoras diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim: FG’2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225. Isso quer dizer que a formiguinha pitagórica andou 15 centímetros, que é o valor da raiz quadrada de 225. Repare na ilustração acima que o quadrado formado pela hipotenusa tem 25 quadradinhos, que é justamente a soma dos quadradinhos azuis com os brancos, formados pelos catetos.

matematica@abril.com.br

Luiz Barco, professor da Universidade de São Paulo (USP) e da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)

Quando os números não conseguem medir

É das fábulas de La Fontaine que trago provavelmente a imagem de que as formigas são muito trabalhadoras. A ciência, porém, prova que elas são, acima de tudo, muito eficientes no desempenho de suas tarefas. Afinal, é importante para a sobrevivência desses seres tão pequenos num mundo tão grande saber escolher os caminhos mais curtos – desde, é claro, que a opção não ameace a sua segurança.

Foi exatamente isso o que, dia desses, uma formiga fez ao escalar um pote na minha mesa de café da manhã. Calcular caminhos é uma das várias aplicações práticas do Teorema de Pitágoras, um dos maiores filósofos e matemáticos da Antiguidade, que teria vivido entre os séculos VI e V a.C. na Grécia. Ele e seus seguidores conceberam uma série de verdades geométricas demonstráveis – os chamados teoremas.

Uma das descobertas mais interessantes que fizeram na época, além dessa sobre o triângulo, transformou a Matemática. Eles perceberam que o Teorema de Pitágoras parecia não dar muito certo quando o triângulo tinha dois catetos do mesmo tamanho. Nesse caso, não dava para extrair a raiz quadrada exata deles ou da hipotenusa. Se um dava um resultado preciso, a conta do outro chegava a um número decimal que não terminava nunca. Isso levou à descoberta (ou invenção) dos números irracionais – aqueles que têm infinitas casas não periódicas depois da vírgula e não podem ser escritos na forma de fração.Quem sabe é SUPER

Teste a sua fantasia com este problema.

Uma antena (A) foi instalada como se vê no desenho ao lado. Bem no meio da sala, ou 1 metro abaixo da laje, fica o ponto (B), onde se liga a TV. Ocorre que o cabo é muito caro e, por isso, o proprietário da casa pergunta: qual é o menor comprimento do cabo necessário para ligar tal ponto (B) até o pé da antena (A), uma vez que ele deve ser fixado nas paredes, no telhado e na laje? A solução está na página 103.

Algo mais

Quando um triângulo tem um ângulo reto (90 graus), é chamado de triângulo retângulo. Os lados têm nomes especiais. Catetos são os dois lados que formam o ângulo reto e hipotenusa é como se chama o lado que se opõe aos outros.