A inesgotável fonte dos números primos

Luiz Branco

Recentemente, tive de fazer, aqui na redação, algumas contas enormes que faziam parte de um intrigante artigo sobre a natureza da matéria. Há quem afirme que ela simplesmente não existe – quando mais nos aproximamos para conhecer sua natureza, mais parece que ela é um imenso vazio. Essa afirmação, com toda certeza, trata da relação entre o “diâmetro” do átomo e os “diâmetros” das partículas que os formam. Vale lembrar que os gregos já consideravam a matéria constituída de pequeníssimas partículas “indivisíveis”, chamadas átomos – e isso me leva a outra lembrança: uma metáfora de John Allen Paulos, que no livro Numeracy considerou os números primos os átomos da Aritmética. Essa consideração, de fato, poderia ser estendida a toda a Matemática, pois exceto os triviais 0 e 1, todos os demais como 2, 3, 4, 5, 6… ou são primos, como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … ou compostos (que podem ser expressos como um produto de dois ou mais números primos), como: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24 e assim por diante. Veja: 6 = 2 x 3, 12 = 2 x 2 x 3, 15 = 3 x 5, 105 = 3 x 5 x 7 etc. Tratamos disso em artigo anterior (SUPERINTERESSANTE ano 7, número 7) e naquela oportunidade escrevi que os números primos são infinitos. Tanto é assim que o próprio Paulos registrava em seu livro que o maior número primo conhecido até 1990 era [(391581 x 2 216091)-1]. E foi necessário que um supercomputador trabalhasse por mais de um ano para calculá-lo.

Como os números primos se transformam num tesouro inesgotável, alguns leitores me escreveram solicitando mais algumas de suas propriedades. De fato, existem alguns teoremas (verdades demonstráveis) sobre esses números que são surpreendentes. Vamos chamar de P (N) (lê-se: P de N) ao número (quantidade) de números primos que são menores ou iguais ao número N. Assim P (10) = 4 (ou P de 10 é igual a 4) pois são quatro os números primos menores ou iguais a 10 (2, 3, 5 e 7). Quando N cresce, a divisão entre o número N e o número P(N) fica mais e mais próxima ao logaritmo natural de N. E assim podemos verificar que aproximadamente 3,6% do primeiro trilhão de números são primos.
Quer ousar brincar com números descobrirá propriedades fascinantes e, talvez, passe a olhar com mais complacência para os pitagóricos que tinha por eles uma admiração religiosa. Outro aspectos que surpreende no conjunto dos números naturais e dos números primos em particular é a facilidade com que alguém com um pouco de imaginação pode fazer afirmações (conjecturas) simples sobre eles. Se verdadeiras ou não nem sempre é fácil demonstrá-las. Um bom exemplo é a Conjectura de Goldbach. Ela diz que cada número pra, maior que 2, é a soma de dois primos. Vamos checar: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 7 + 5, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11, etc. Mais um exemplo: 374 = 151 + 223 e assim por diante. Tal conjectura ainda não foi provada nem refutada.

Outra conjectura envolvendo os números primos refere-se aos gêmeos. Que são números primos gêmeos? São aqueles cuja diferença entre eles é 2. Por exemplo 17 e 19, ou 41 e 43 ou ainda 59 e 61. Também não foi provada nem refutada a conjectura de que seja infinita a coleção de números primos gêmeos. O incansável matemático amador Pierre de Fermat (Superinteressante ano 7, número 8) andou se aventurando por elees e julgou, por volta de 1640, ter encontrado a fórmula que produziria apenas números primos. Sua fórmula era: 2²n + 1 (n indica os valores sucessivos 1, 2, 3 etc). Então, encontramos:

2² + 1 = 5
2²² + 1 = 17
2²³ + 1 = 257
2²4 + 1 = 65537

(Os resultados foram obtidos assim: 2²² = 24; 2²³ = 28)

Todos esse números são realmente primos. Porém, cerca de um século depois da revelação de Fermat, o matemático suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) mostrou que o quinto número de Fermat, 2² + 1 que resultava em 4 294 967 297 era composto, resultado do produto de 6 700 417 por 641. Fermat tinha se enganado, mas sua fórmula gerou uma família de números conhecidos como números de Fermat que aparecem em muitas aplicações da teria dos números. Tudo isso me leva a concluir que é nossa obrigação estimular as crianças a brincar de números. É um belíssimo exercício de imaginação. E por falar na importância da imaginação lembro o que dizia o poeta inglês John Masefield (1878 -1967): “ O homem é formado por corpo, mente e imaginação. O corpo é defeituoso, a mente mentirosa, mas a imaginação fez dele um ser notável”.