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Rabiscos matemáticos

Um truque divertido mostra a lógica que há por trás de uma linha emaranhada.

Luiz Barco

Outro dia, num aeroporto, um pai, atormentado pelo filho que não parava de chorar, apontou para mim e falou: “Olhe, é o Papai Noel. Se você continuar chorando, eu digo a ele para não trazer presentes no Natal”.

Levei um susto. Não chegam os malucos que confundem lições de matemática com castigos escolares? Agora querem misturar a nobre missão do velhinho de barba branca com a tarefa de pais despreparados para conviver com as crianças?

Dirigi-me ao menino e disse: “As crianças sempre merecem presentes. O que eu não sei é se os pais também merecem”. O casal ficou mudo, o garotinho parou de chorar e o irmão maior, que aparentemente não estava prestando atenção, apontou para o pai e disse: “Ele não merece. Ela, às vezes”. Que maluquices terão feito esses pais para receber julgamentos tão severos?

Essa estranha confusão precedeu o bom papo que passei então a ter com o menino. Entre outras coisas, nós falamos de desafios matemáticos, especialmente de um que diz respeito a curvas e nós. Para entender nossa conversa, dê uma olhada nas curvas que se seguem e na definição do seu trajeto, indicado pelas letras que nomeiam os nós (cruzamentos).

Agora, imagine uma curva fechada, isto é, cujo final coincide com o começo. Assim:

O que o garoto me pediu foi que fizesse – escondido – uma curva fechada, com muitos nós mas nenhum deles coincidindo com outro. Depois, sugeriu que eu nomeasse os nós com letras e, com um lápis, caminhasse sobre a curva, passando por todos os cruzamentos e falando seus nomes (letras) em voz alta. Mas era preciso atentar para um detalhe: dois nós consecutivos deveriam ter os nomes trocados em apenas uma das passagens por eles. O menino garantia que descobriria quais eram esses nós.

Usei o exemplo já dado de curva fechada e troquei o

D pelo A, depois da passagem pelo E. Aí, falei:”A, B, B, F, F, E, A, D, C, D, E, C”.

Enquanto ouvia, ele anotava as letras e, sem titubear, disse: “Você trocou o A com o D”. O truque é um dos muitos baseados no conceito de paridade. Na verdade, ele se apóia num teorema (verdade matemática) meio complicado, que deixamos para explicar noutra ocasião. Agora, vou apenas contar como o menino descobriu a troca.

Primeiro, observe como se comporta a seqüência original, sem a troca. Faça um traço horizontal e vá colocando as letras, pela ordem, uma em cima e outra embaixo da linha. Vai ficar como abaixo:

A B F D C E

B F E A D C

Agora, faça o mesmo trocando as letras:

A B F A C E

B F E D D C

Repare que no primeiro caso não há letras repetidas em cima ou embaixo da linha. No segundo, aparecem dois A em cima e dois D embaixo. Foi assim que o pequeno mágico descobriu a troca. Seu pai morreu de orgulho. Espero que nosso encontro tenha servido para fazê-lo perceber que as crianças são maravilhosas e que merecem respeito e atenção.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo