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Um antepassado do cubo mágico

Características do quebra-cabeça de números.

Luiz Dal Monte Neto

Há uma década o mundo foi tomado de assalto pelo cubo mágico, o diabólico quebra-cabeça inventado pelo arquiteto húngaro Erno Rubik. Quem viu aquela febre se lembra do fascínio magnético que ele exercia sobre as pessoas. Todavia, a febre durou pouco e, hoje, salvo em poucas publicações hiperespecializadas, o cubo está esquecido. Não morto. É certo que, mais dia, menos dia, ele voltará para contaminar nova legião de adeptos, pois tem qualidade de sobra para isso.
O fenômeno não é novo no mundo dos quebra-cabeças, embora antes do cubo só se tenha notícia de um outro caso semelhante, quer na amplitude da epidemia, quer na rapidez do esquecimento. Trata-se do Boss Puzzle, ou The Puzzle of Fifteen, como foi chamado originalmente. Os franceses o batizaram de Taquin e, no Brasil, ele foi comercializado com o nome de Acerte os Números. Tudo começou na década de 1870, quando o americano Sam Loyd, inventor de um número enorme de quebra-cabeças geniais, fez publicar no suplemento dominical de um jornal nova-iorquino um problema-desafio com o prêmio de 1000 dólares para quem descobrisse a solução.

Como o editor se mostrasse desconfiado, Loyd teve de garantir o pagamento, de seu próprio bolso. Foi a loucura. Relatos da época dão conta de que muitos patrões tiveram de proibir o porte de quebra-cabeça nos recintos de trabalho, para impedir que seus funcionários brincassem com ele pelos cantos. Rapidamente, o vírus atravessou o Atlântico em algum navio de cruzeiro. Consta que na Alemanha os deputados chegaram a levá-lo às sessões do Parlamento. Em Paris, tornou-se comum promover torneios nos cafés, onde os fregueses se esqueciam dos compromissos, concentrados por horas a fio.

O Boss Puzzle consistia em uma caixinha quadrada com dezesseis partilhas, também quadradas. A 16ª era retirada, deixando-se um espaço vago, para o qual podia-se empurrar uma pastilha adjacente. Esta, por sua vez, deixava atrás de si outro espaço, para o qual se empurrava outra pastilha e assim por diante. Desse modo, era possível desarranjar a ordem indicada na figura 1, através do deslizamento sucessivos de pastilhas (não valia retirá-las da caixa). Bem, isso já era conhecido pelo menos desde outubro de 1865, quando a empresa Embossing Co. comercializou o The Puzzle of Fifteen – o primeiro puzzle de blocos deslizantes de que tenho notícia.
O que Sam Loyd propunha em se desafio público era chegar à configuração da figura 1, partindo da posição indicada na figura 2. Nesta, pode-se ver que há uma inversão entre as peças 14 e 15. O leitor pode desfrutar desse passatempo, improvisando peças em cartão. Para isso, recorte dois quadrados de 8 centímetro e lado. Divida o primeiro em dezesseis quadrados iguais, descarte um e escreva sobre os outros os números de 1 a 15. Ponha os quadradinhos sobre o segundo quadrado grande e mãos à obra.

Ninguém jamais ganhou o prêmio oferecido por Sam, ainda que muitas pessoas alegassem ter descoberto a solução casualmente, mas, sem tê-la anotado, diziam não saber reconstituí-la. Notória demonstração de orgulho ferido, já que o problema, simplesmente, não tem solução. Loyd sabia disso e, portanto, não hesitou em “arriscar” seu próprio dinheiro no prêmio. Não tardou muito para que começassem a investigar o comportamento matemático do passatempo. Descobriu-se que, entre os vários bilhões de combinações iniciais possíveis, exatamente 50% deles apresentam a possibilidade de chegar-se à posição da figura 1. Os outros 50% conduzem, na melhor das hipóteses, à posição da figura 2. E mais: a partir de qualquer posição do primeiro grupo é possível mover as peças de modo que se atinja qualquer outra posição do mesmo grupo. O mesmo é válido ente as combinações dos segundo grupo. O que não é possível é partir de uma combinação de um grupo e chegar a outra de outro grupo – exatamente o que Loyd propunha. Assim, se você partir de uma posição inicial aleatória, terá 50% de chance de poder chega à figura 1 e 50% de chegar à 2.

A demonstração matemática desse comportamento é algo complexa para o âmbito desta seção, mas há uma fórmula fácil para se saber de antemão se uma determinada posição poderá ser levada àquela da figura 1. Deixando o canto inferior direito vago, conte quantas transposições existem nela (dois quadrados formam uma transposição quando o maior antecede o menor). Se o número total de transposições for par, a combinação pertencerá à mesma classe da figura 1. Se for ímpar, pertencerá à figura 2.
Loyd também propôs outros problemas, dessa vez possíveis: a) partir da figura 2 e chegar à figura 3; b) partir da figura 2 e chegar à figura 4 (observe que esta última é semelhante à figura 1, só que com a caixa e os número deitados); c) partir da figura 2 e transformar a caixa num quadrado mágico, isto é, produzir uma combinação em que cada fileira, coluna ou diagonal maior tenha sempre a mesma soma (resposta na seção de soluções). O Boss Puzzle teve um ressurgimento no fim dos anos 40 e, de tempos em tempos, ainda é fabricado pelas indústrias de brinquedos. Quando acontecerá o mesmo com o cubo de Rubik?

 

Luiz Dal Monte Neto é arquiteto e designer de jogos e brinquedos.