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História e matemática: Arquimedes e a coroa do rei

A grande sacada do matemático para descobrir as malandragens do ourives da corte de Siracusa no século III a.C.

Luiz Barco

Às portas de uma escola na qual se realizava o vestibular, em novembro, encontrei um amigo, professor de História. Ele aguardava a filha, que estava prestando o exame e, ao ver-me, fez um comentário: “De que adianta exigir tanta matemática aos alunos, principalmente se eles querem ser historiadores e não engenheiros?” É claro que estava me provocando. Ou então revelava o nervosismo que naturalmente invade toda família quando um dos filhos tem de enfrentar a seleção para a universidade. Fosse qual fosse o motivo, achei interessante entrar na brincadeira e ajudá-lo a passar o tempo. Comecei, então, a contar um episódio que une história e matemática.

Ele gostou tanto que pensei ser boa idéia relatar o caso também para os leitores da SUPER. Conta-se que Heron, rei da cidade grega Siracusa no século III a.C., mandou ao ourives da corte certa quantidade de ouro, para que ele lhe fizesse uma nova coroa. Quando recebeu a encomenda pronta, o rei desconfiou que parte do ouro fora substituída por prata, cujo valor já era bem menor naquela época.

Heron tinha grande respeito por um dos maiores matemáticos que o mundo conheceu, Arquimedes, que provavelmente nasceu em 287 a.C., pois consta que morreu em Siracusa, em 212 a.C., aos 75 anos, durante um saque da cidade feito por soldados romanos. Sobre essa batalha, aliás, há relatos de que, apesar da superioridade romana, Siracusa conseguiu resistir longamente graças ao uso de máquinas de guerra idealizadas por Arquimedes.

Bem, foi a esse sábio que o rei pediu para verificar sua desconfiança em relação ao ourives. Diz a história que Aquimedes descobriu como resolver o problema no banho. Ao submergir na banheira, pensando na tarefa que o rei lhe confiara, sentiu-se mais leve e deduziu o que ficou conhecido como o princípio de Arquimedes: “Quando um corpo é mergulhado na água ele perde, em peso, uma quantidade que corresponde ao peso do volume de água que foi deslocado pela imersão do corpo”. Emocionado com a descoberta, Arquimedes teria saltado da banheira, saindo nu pelas ruas de Siracusa a gritar: “Eureka, eureka!”, que significa “encontrei, encontrei!”.

Vamos ver agora como a utilização desse princípio permitiu verificar que o ourives realmente estava embolsando parte do ouro do rei. Suponhamos que a coroa pesasse P gramas e que nela existissem A gramas de ouro e B gramas de prata. Isto é, P = A + B.

Agora imaginemos que A gramas de ouro pesem, dentro da água, a gramas e que uma coroa pesando P gramas, se fosse feita só de ouro, pesaria, dentro da água, A* gramas. Levando em conta que materiais homogêneos como o ouro e a prata têm, na água, um peso proporcional ao de fora, teremos:

a/A = A*/P ou a = AA*/P

O a que a porção de ouro da coroa pesa quando submersa dividido pelo A que a mesma porção pesa fora da água é igual ao quociente entre o A* que pesaria uma coroa inteiramente de ouro dentro da água e o P, que representa o peso da mesma coroa fora d·água.

É claro que se pode fazer as mesmas considerações para a porção B, de prata, da coroa e chegar a algo como b = BB* / P

Agora, um desafio. Suponha que a coroa pesasse 920 gramas fora e 858,3 gramas dentro da água. Se fosse inteiramente de ouro pesaria, submersa, 872,4 gramas. Se fosse feita só de prata, na mesma situação teria um peso de 832,5 gramas. Ou seja, A* = 872,4 g e B* = 832,5 g. Use, como deve ter feito Arquimedes, esses dados e as fórmulas já citadas para descobrir as quantidades de prata e de ouro que o ourives aplicou na coroa. Quando chegar a uma conclusão pode festejar, mas antes de sair por ai gritando eureka tome o cuidado de verificar se está devidamente vestido. A resposta vem na próxima edição da SUPER.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicação e Artes da Universidade de São Paulo