Frações e contas em lugar de Equações e Incógnitas

Luiz Barco

Num quintal onde há coelhos e galinhas existem 74 cabeças. São quantos coelhos e quantas galinhas, se ao todo contam-se 184 pés? Este é um velho problema de Aritmética que recentemente propus a estudantes de Engenharia. Os que tentaram conseguiram solucioná-lo, mas só puderam fazê-lo recorrendo à Álgebra, utilizando-se um sistema de duas equações e duas incógnitas. Chamaram x o número de galinhas e y o de coelhos. Daí em diante foi só traduzir o enunciado em equações e resolvê-las em seguida. Mas, para minha surpresa, quando pedi que resolvessem a questão sem recorrer a Álgebra, quase ninguém conseguiu.
Em outra ocasião, fui convidado a fazer uma palestra para um grupo de voluntários que estava sendo preparado para dar aulas aos analfabetos de suas comunidades. Aproveitei o mesmo problema, e, por ignorar a Álgebra, o grupo propôs uma solução puramente aritmética. Tomaram um número qualquer entre 0 e 74, para as galinhas e o restante passou a ser os coelhos. Bastava agora adaptar os números de pés e cabeças a esses números hipotéticos e usar o método do ensaio e erro. Se nas contas dos pés sobrassem alguns, era sinal de que tínhamos estimado um número menor de galinhas e precisaríamos aumentar. Se, ao contrário, faltassem pés, teríamos que diminuir o número de galinhas.

Por exemplo, suponhamos que sejam 52 galinhas. Os pés somarão 104. Sobram 22 animais, os coelhos, e 88 pés. Sobraram, portanto, oito. Por ensaio e erro, vamos acabar chegando aos 184 pés que o problema enuncia e terminamos descobrindo quantos coelhos e galinhas temos. Esse caso vem reforçar a idéia, que não é nova, de que a escola, quando treina técnicas, acaba por limitar a criatividade. Um bom exemplo sobre a resolução de problemas usando a Aritmética está citado no livro Álgebra Recreativa, de I. Perelman. Ele enuncia um dos problemas preferidos do celebre escritor russo Lev Tolstói (1828-1910), autor de Guerra e Paz.
Uma turma de ceifeiros deveria trabalhar em duas roças, uma com o dobro da área da outra. Durante o meio dia, todos trabalharam na roça maior, depois do almoço, metade da turma continuou na roça grande e a outra metade passou para a roça menor. No fim da tarde, o trabalho estava quase terminado, faltando apenas uma pequena faixa da roça menor. Esse pedaço foi concluído por um único trabalhador, que ceifou o dia seguinte inteiro. Quantos ceifeiros havia na turma?
O problema mereceu do professor russo A. Tsínguer, o seguinte comentário: “Seu efeito essencial reside no fato de que ele não é de modo algum algébrico e sim aritmético”. Tolstói se entusiasmava não só com as dificuldades que os problemas colocavam, mas também com as soluções criativas que se davam a eles. Se você pensou em resolvê-los, veja sua solução aritmética:
Como a roça maior foi ceifada pela turma toda em meio dia e por metade da turma em mais meio dia de trabalho, é claro que meia turma ceifa em meio dia a terça parte (1/3) da roça grande. Assim, a parte da roça pequena que ficou para o dia seguinte corresponde a meia roça grande (total da roça pequena) menos a terça parte da roça grande, que é o que foi roçado pela metade da turma na roça pequena, ou seja, 1/2 – 1/3 = 1/6, e esta fração da roça grande que um trabalhador sozinho é capaz de fazerem um dia inteiro de trabalho. Se um dia cada trabalhador corta 1/6 da roça grande e, como no primeiro dia foram ceifados 8/6 da roça grande, consequentemente eram 8 trabalhadores na turma.
Quem tentou resolver o problema vai concordar com a observação de Tsínguer.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicação e Artes da Universidade de São Paulo.