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Uma vela e uma bola para explicar as cônicas

Artigo do professor Luiz Barco, explicando o que são e como se reconhecem as cônicas.

Luiz Barco

Num sábado ensolarado do final de janeiro encontrei-me casualmente como um ex-aluno, hoje jornalista. Para a minha surpresa, em vez de fazer comentários sobre a guerra no Golfo Pérsico, ele me confessou que sempre quis saber o que eram e como se reconheciam as cônicas, ou seja, as parábolas, elipses etc. Ciente de que meu interlocutor queria uma informação e não um rosário de fórmulas e aborrecidas explicações, lhe sugeri uma experiência, usando uma vela e uma bola. Imagine uma vela de comprimento superior ao diâmetro de uma bola. A sombra que a luz da vela, incidindo sobre a bola, projeta na mesa é a de uma elipse.

Embora, muitas vezes, você tenha tido dificuldades para construir uma elipse nas aulas de desenho geométrico, o mesmo não acontece com um jardineiro quando quer fazer um canteiro de contorno elíptico. Ele apanha duas estacas de madeira e as finca a uma determinada distância uma da outra. A seguir, amarra nas estacas as duas pontas de uma corda cujo comprimento é maior do que a distância entre as estacas. Depois, estica a corda com um ponteiro e marca no chão esse contorno.

Observe que o risco é o lugar de todos os pontos que têm a propriedade seguinte: a soma das distâncias de cada ponto até os pés das duas estacas ( focos) é constante e igual ao tamanho da corda.

A experiência pode ser repetida com uma tábua, dois pregos, barbante e um lápis. A ponta do lápis pode ser considerada um planeta, como a Terra, por exemplo. O Sol estará em um dos pregos ( focos ), e a elipse traçada é a órbita do planeta considerado.

Voltando à vela e à bola, quando a altura da vela dor igual ao diâmetro da esfera (bola), vamos obter uma sombra parabólica, isto é, a curva que contorna a sombra é uma parábola.

Observe que o centro da curva e um de seus focos foram atirados para o infinito.

Imagine, então, que, enquanto conversávamos, a vela queimou, ficando menor que o diâmetro da esfera. Teoricamente vamos ter uma sombra, cujo o contorno é uma curva chamada hipérbole.

Observe que nas condições dadas somente poderíamos obter uma sombra circular se o tamanho da vela fosse teoricamente infinito. Na prática, bastaria que ele fosse assustadoramente grande em relação às outras medidas. É por essa razão que, nas aplicações práticas, consideramos que os raios do Sol chegam à Terra paralelos. O Sol é a chama de uma vela praticamente infinita. Essas curvas – elipses, circunferências, parábolas e hipérboles – são denominadas seções cônicas, ou apenas cônicas, pois as obtemos secionando, por meio de um plano, dois cones que se opõem pelo vértice (figura conhecida por cone de duas folhas).

A inclinação do plano secionado em relação ao eixo central é o que determina o tipo de cônica obtido. Quem primeiro estudou essas curvas foi o geômetra grego Apolônio de Perga no século III a.C. Daí resultaram oito livros, considerados o coroamento de toda a Geometria grega. Depois disso, só no século XVII, quando o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571- 1630) enunciou suas leis sobre os movimentos dos planetas, os homens voltaram sua atenção para as cônicas.