5 problemas matemáticos que levaram muito tempo para serem resolvidos
Por Luíza Antunes
A matemática é uma ciência complexa. Assusta crianças na escola e quebra a cabeça dos cientistas mais brilhantes. No universo dos números e fórmulas, uma conjectura é uma afirmação feita sem provas. E prová-la por A+B pode levar muito tempo. Algumas conjecturas, inclusive, só são solucionadas graças a supercomputadores programados exclusivamente para esse fim. Conheça 5 problemas matemáticos antigos que foram resolvidos recentemente (fique tranquilo, quem não entende muito de matemática também pode ler):
1. A Conjectura de Kepler
Tempo para resolução: 403 anos
Em 1611, Johannes Kepler queria descobrir qual o melhor método para empacotar esferas num espaço cúbico. Se a simplificação do conceito não foi suficiente, a gente tenta de novo: ele queria saber qual o melhor jeito de colocar laranjas numa caixa, de forma que coubesse o máximo de laranjas possíveis. De acordo com a Conjectura da Kepler, um arranjamento piramidal das esferas é o melhor método, pois é aquele com a maior densidade, ou seja, mantém as esferas (ou laranjas) o mais próximas umas das outras. Apesar da conjectura ser muito boa, Kepler não conseguiu provar matematicamente a teoria.
Em 1998, um matemático da Universidade de Pittsburgh, Thomas Hales, apresentou uma prova por meio do que a matemática chama de “força bruta e ignorância”. Ou seja, ele checou vários casos individuais e chegou a um documento de 300 páginas. Foram necessárias 12 revisões e 4 anos para dizer que Hales tinha 99% chances de estar certo. Só que, para a matemática, isso não é suficiente. Em 2003, ele iniciou um projeto chamado Flysperk para conseguir uma prova formal de sua verificação. Foram usados dois softwares, Isabelle e HOL Light, para checar os cálculos. No dia 10 de agosto, depois de 10 anos de trabalho, Hales conquistou o 1% que faltava. A prova matemática da Conjectura de Kepler está correta.
2. Conjectura de Kadison-Singer
Tempo para resolução: 54 anos
Em 1959, Richard Kadison e Isadore Singer soltaram no ar uma pergunta: será que “estados puros” em álgebras abelianas de von Neumann podem ser estendidos para estados puros em álgebras não-abelianas? Simplificamos bastante a questão e mesmo assim não dá para entender direito, né? Ela fala de matrizes, funções, valores e conceitos que vão da análise funcional (área da matemática que estuda funções) à física quântica (campo que estuda moléculas, átomos e partículas subatômicas).
Mas a parte incrível – e um pouco mais compreensível – começa agora. Primeiro: pesquisadores importantes como Pete Casazza, da Universidade de Iowa, acreditavam que vários outros problemas da matemática pura eram basicamente iguais ao de Kadison-Singer, e só tinham sido elaborados de outros jeitos. Segundo: segundo Casazza, o que Kadison e Singer fizeram não foi bem uma conjectura, porque nem eles próprios acreditavam que ela teria uma resposta positiva. Estava mais para um “problema”.
Ou seja, resolver a conjectura era o mesmo que solucionar vários problemas ao mesmo tempo e ainda por cima provar que Kadison e Singer estavam errados. Em 2013, três matemáticos e cientistas da computação, Adam Marcus, Daniel Spielman e Nikhil Srivastava, fizeram isso. Com fórmulas, matrizes e polinômios, eles provaram que a resposta da pergunta era “sim”. Fora do mundo da matemática, a descoberta não impressionou muito, porque provavelmente as pessoas não entenderam sua importância. Mas quem entende garante: a contribuição dos cientistas foi revolucionária e surpreendentemente simples.
Para os iniciados, o problema e a solução estão bem explicados aqui (está em inglês).
3. Conjectura de Hirsch
Tempo para resolução: 53 anos
Em 1957, Warren M. Hirsch disse que um polítopo de uma dimensão d com n facetas não pode ter um diâmetro superior a n – d. Em outras palavras, o matemático americano acreditava que houvesse um limite para a complexidade do Simplex, um algoritmo de uma área da matemática aplicada conhecida como programação linear. Por cinco décadas, ninguém conseguiu provar nem que sim e nem que não. Até 2010.
Naquele ano. Francisco Santos, pesquisador da Universidade de Cantábria, conseguiu refutar a conjectura com a apresentação de um contra-exemplo: um polítopo de dimensão 43, com 86 facetas, cujo diâmetro (86-43) é maior do que 43.
Diferente do item anterior, que está mais associado à matemática pura (aquela que, a princípio, não tem muita coisa a ver com o “mundo real”), essa descoberta se situa no campo da matemática aplicada. Isso porque o tal algoritmo Simplex é útil para tarefas como organização de turnos e horários em empresas, desenho de redes de transporte e formulação de estratégias de mercado.
4. Lei circular
Tempo para resolução: 45 anos
Em 1965, Jean Ginibre propôs a lei circular. Assim, de nome, pode parecer uma coisa simples. Mas, se você leu essa lista até aqui, já deve saber que não é. Quer ver só? “A lei circular determina a distribuição uniforme de autovalores em matrizes aleatórias”. Nos anos 80, os matemáticos Vyacheslav Girko e Zhidong Bai avançaram um pouco os estudos de Ginibre. Mas foi somente em 2010 que os pesquisadores Terence Tao e Van H. Vu conseguiram comprovar a lei circular partindo de pressupostos matemáticos. Tanto que eles foram premiados com o Nemmers Prize in Mathematics e o Polya Prize (SIAM), duas condecorações importantes.
5. O problema de Gromov sobre distorção dos nós
Tempo para resolução: 28 anos
A teoria dos nós faz parte de uma área da matemática conhecida como topologia, que estuda as propriedades das formas e do espaço. Um nó matemático é diferente de um nó cotidiano, uma vez que as suas pontas são unidas. Trata-se da imersão de um círculo num espaço tridimensional. Complicado, né? Bem, dois nós matemáticos são equivalentes se um puder ser transformado no outro através de uma deformação em si mesmo. Em 1983, o matemático Mikhail Gromov definiu uma distorção na incorporação entre dois nós e perguntou como cada nó poderia ser incorporado com um distorção inferior a 100. Em 2011, John Pardon, um estudante de graduação da Universidade de Princeton, conseguiu solucionar o problema. Pelo trabalho, ele foi premiado com o Morgan Prize em 2012.
Bônus
A Conjectura Fraca de Goldbach
Tempo para resolução: 271 anos
Em 1742, Christian Goldbach propôs uma conjectura para a teoria dos números que afirma o seguinte: “Todo número ímpar maior que 7 pode ser expresso como soma de três números primos ímpares” ou, equivalentemente, “todo número ímpar maior que 5 pode ser expresso como soma de três números primos – pode-se usar o mesmo número primo mais de uma vez na soma.” Enfim, ela é chamada de “fraca” porque existe outra conjectura de Goldbach que afirma que qualquer número par maior ou igual a 4 é a soma de dois primos. Ou seja, se a Conjectura Forte fosse comprovada matematicamente, a fraca automaticamente estaria resolvida.
Desde 1923, a confirmação da conjectura vem recebendo avanços importantes partindo de matemáticos no mundo inteiro. Em 2013, o peruano Harald Andrés Helfgott, pesquisador do Centro Nacional para Investigação Científica (CNRS) em Paris publicou dois trabalhos afirmando que conseguiu resolver incondicionalmente o problema da conjectura fraca. Mas ainda falta a revisão para comprovar a descoberta.
Conjectura de Polignac
Tempo para resolução: 164 anos
Em 1849, Alphonse de Polignac desenvolveu uma conjectura na teoria dos números. Segundo ele, para cada número par n, haverá indefinidamente números primos consecutivos separados por n. Ou seja, seria infinita a quantidade de pares de números primos separados por duas unidades, como 3-5, 5-7, 11-13, etc. Em 2013, um grande avanço foi descoberto por Zhang Yitang, que conseguiu provar que o tal número par n é menor que 70.000.000. Usando os cáculos de Zhang, outro matemático, James Maynard, anunciou no mesmo ano que a diferença entre números primos sucessivos é menor ou igual a 600. Em 2014, o projeto Polymath conseguiu reduzir n para 246. Eles ainda não fizeram as descobertas necessárias para diminuir n até chegar a 2, mas usando outra conjectura que ainda não foi comprovada, a de Elliott-Halberstam, eles conseguem diminuir para 6.
Imagens: Wikimedia Commons / Getty Images
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