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As pérolas que levam ao céu

Alguns vendem felicidade, outros, saúde. Já houve até quem vendesse um pedaço da Lua. E teve gente que comprou. Assim, não me surpreendi quando encontrei outro dia um homem que vendia uma passagem para o Céu. Segundo ele, cada vez que alguém faz um gesto que traz grande alegria está mais perto do Céu.

Ora, sabemos que muitos se alegram quando resolvem um problema. Logo, talvez a Matemática seja um caminho para o Paraíso. Pois meu novo amigo, que dizia chamar-se Nuap Bitce, contou-me que em uma das portas do Céu é preciso enfrentar uma bateria de testes de raciocínio matemático.
Um deles se refere ao uso inteligente das balanças. Nuap contou que um dos últimos brasileiros a entrar lá por esse caminho foi o professor Júlio César de Mello e Souza, matemático autodidata que escrevia sob o pseudônimo de Malba Tahan, célebre por seu livro “O homem que calculava”.
Nuap me propôs um problema com doze pérolas idênticas em que uma delas era falsa e por isso tinha peso diferente — não se sabe se mais leve ou mais pesada. Eu teria de encontrar a solução em apenas três pesagens, usando uma balança de dois pratos.

Para tornar a solução mais clara, Nuap decidiu representá-las em três grupos de quatro pérolas, assim:

Na primeira pesagem usamos dois desses grupos, um em cada prato da balança (veja a figura 1).
Temos duas hipóteses: ou haverá equilíbrio (primeira hipótese) ou desequilíbrio (segunda hipótese).
Primeira hipótese: houve equilíbrio. Então, as oito pérolas envolvidas na primeira pesagem são boas e a falsa está entre as quatro restantes.

Passamos então à pesagem na qual testamos três das restantes comparando-as com três boas e teremos novamente equilíbrio ou desequilíbrio.

Se equilibrar, a falsa é a quarta pérola que não foi pesada e basta, na terceira pesagem compará-la com uma boa. Se o prato em que ela estiver descer, é mais pesada. Se subir, é mais leve.

Se houver desequilíbrio na segunda pesagem , é sinal de que a falsa está entre essas três e é mais pesada (se fosse mais leve, o prato teria subido).

Para descobrir qual das três é a falsa, basta, na terceira pesagem, colocar duas pérolas como a do parênteses, uma em cada prato da balança. A que descer é mais pesada e portanto, falsa. Se houver equilíbrio, a que restou (a terceira que ficou de fora) é a falsa. E será também a mais pesada.

Segunda hipótese: houve desequilíbrio na primeira pesagem. Concluímos, então, que a falsa está entre estas oito e que as restantes são boas. Encontre a solução. Lembre-se que você só tem mais duas pesagens. Se não conseguir, não se preocupe, pois o céu tem outras portas.
Tente de qualquer forma, ao menos para homenagear Malba Tahan, que no ano que vem faria 100 anos. Ou melhor, fará 100 anos, pois quem ensina como ele não morre nunca.