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Justiça a qualquer preço

Dá para fazer um sorteio honesto, mesmo com um instrumento viciado.

Luiz Barco

O compositor Gilberto Gil que me desculpe o plágio, mas o Rio de Janeiro continua lindo! E o seu povo continua amando o futebol. Pude constatar isso, pois fui dar um curso lá recentemente. Não houve motorista de táxi que conseguisse evitar o assunto. Um deles se queixou da perseguição dos cartolas ao seu time, que já começava perdendo no “cara ou coroa”. “O senhor sabe”, ele explicou, “existem moedas que caem mais de um lado do que do outro”. “É verdade”, concordei. Mas disse a ele que não é impossível conquistar uma chance justa com instrumentos de sorteio (bolas em uma urna, dados, moedas, roletas, piões) viciados.

“Essa não!”, o homem retrucou, quase indignado. Ao que eu tive que responder com uma explicação do princípio multiplicativo, que ele entendeu facilmente.

Se você tem três percursos (A, B e C) para ir do bairro 1 para o bairro 2 e dois percursos (M e N) para ir do bairro 2 para o bairro 3, então você tem 3 x 2 = 6 percursos para ir de 1 para 3, passando pelo 2. Pode optar, portanto, pelas rotas (A,M), (A,N), (B,M), (B,N), (C,M), (C,N). Confira no esquema:

Em outras palavras, se alguma escolha pode ser feita de “n” maneiras diferentes e alguma escolha subseqüente pode ser feita de “p” maneiras diferentes, então há “n x p” jeitos de se fazer as duas escolhas. Pode parecer um tanto óbvio esse princípio, mas quando usado adequadamente ele é um poderoso auxiliar. No cálculo das probabilidades, por exemplo, quando dois eventos são independentes, isto é, quando o resultado de um não afeta o do outro, a probabilidade de ambos ocorrerem é calculada multiplicando-se as probabilidades dos eventos individuais.

Veja como funciona: para uma moeda honesta, há uma probabilidade estimada de 1/2 (uma em duas chances iguais) de dar cara (C) ou de dar coroa (K). Ou seja: p(C) = 1/2 e p(K) = 1/2. Se lançarmos duas dessas moedas também teremos igual chance (1/4) de obter qualquer um dos quatro resultados possíveis: cara-cara(C,C), cara-coroa (C,K), coroa-cara (K,C) e coroa-coroa (K,K).

Como o resultado de uma das moedas não afeta o resultado da outra, poderíamos ter calculado a probabilidade assim: p(C,C) = p(C) x p(C), ou seja, p(C,C) = 1/2 x 1/2 = 1/4.

Bem, já temos aqui os meios para nos proteger de uma moeda viciada. Imaginemos que o juiz tenha uma dessas moedas e que a chance de resultar coroa seja muito maior que a chance de resultar cara, digamos 70% contra 30%. Teríamos, então, que p(K) = 0,7 e p(C) = 0,3. Basta que em lugar de apostarmos cara ou coroa em um lançamento, combinemos que se vai lançar a moeda duas vezes e que cada um dos capitães escolherá ou cara, coroa (C,K), nessa ordem, ou coroa, cara (K,C). Veja por quê:

p(C,K) = p(C) x p(K) = 0,3 x 0,7 = 0,21

p(K,C) = p(K) x p(C) = 0,7 x 0,3 = 0,21

Ambos apostam em chances iguais. Se resultarem duas caras ou duas coroas? Bem, que se prossiga, com lançamentos duplos.

Esse modo bem-bolado de driblar uma moeda viciada é do matemático nascido na Hungria Johann von Neumann (1903-1957), criador da teoria dos jogos. Só por curiosidade, vamos ver as outras probabilidades de nosso exemplo.

p(C,C) = 0,8 x 0,3 = 0,09 ou 9%

p(C,K) = p(K,C) = 0,21 ou 21%

p(K,K) = 0,7 x 0,7 = 0,49 ou 49%

Fiquei admirado quando, mesmo sem ter estudado, o motorista concluiu que a aposta também poderia ser duas coroas (K,K) contra todos os demais. Claro, daria 49% contra 51%, quase a mesma coisa. O Rio, como eu disse antes, continua lindo, mas seu povo, além de amar o futebol, está ficando cada vez mais simpático e inteligente.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicação e Artes da Universidade de São Paulo