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Geometria verdejante

Elipses são elegantes figuras alongadas que, apesar de lembrar um círculo, não podem ser construídas com um compasso. Um dos métodos usados para desenhá-las foi inventado por um simples jardineiro. Você vai conhecê-lo agora.

Luiz Barco

1. Estas mudas de flor são para você plantar dentro da elipse que construir. Você verá que elas caberão direitinho na figura geométrica final.

2. Para começar, faça um círculo utilizando uma estaca e uma corda. Prenda uma ponta da corda na estaca e amarre uma vareta na outra ponta. Agora, é só esticar a corda e dar uma volta inteira.

3. Risque, em seguida, dois diâmetros desse círculo, um na vertical, outro na horizontal. Use uma ripa de madeira para traçar várias paralelas à linha horizontal. Estenda todas elas para fora do círculo.

4. Meça, agora, sobre cada paralela, a distância entre o traço vertical e a circunferência. Em seguida, marque os tamanhos obtidos na extensão de cada linha para fora do círculo.

5. Pronto: basta unir todas as marcas feitas e você terá uma elipse. Note que no círculo central cabe exatamente a mesma quantidade de flores que no resto da figura. Não é demais?

Luiz Barco, professor da Universidade de São Paulo (USP) e da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)

matemática@abril.com.br

Algo mais

Para descobrir que os planetas tinham órbitas elípticas, em 1609, Johannes Kepler passou um ano quebrando a cabeça no melhor observatório da época, o de Tycho Brahe, na Ilha de Helsingborg, na Dinamarca. Toda noite anotava as posições da rotação de Marte em torno do Sol num mapa celeste. Quando fechou a carta, só precisou ligar os pontos para deparar com a elipse.

O jardineiro que achatava bolas

Lembro-me de quando eu era professor da Escola de Engenharia de Lins, no interior de São Paulo, e discutia com os meus alunos as leis do astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630). Para quem não sabe, foi Kepler quem chegou à conclusão de que a órbita dos planetas tem a forma de elipse. São circunferências mais ou menos alongadas que às vezes atrapalham quem tenta construí-las com régua e compasso. Mas a coisa não é tão cabeluda assim. Vi, certa vez, um jardineiro riscar uma dessas figuras geométricas usando apenas um pedaço de corda, uma estaca e um sarrafo de madeira. Ele as chamava de “bolas achatadas”. O que me encantou foi a habilidade com que calculava exatamente a elipse. Não tinha erro. Depois de desenhada, ela acabava com uma área igual ao dobro da de um círculo desenhado dentro dela (veja o infográfico acima). Mas também fiquei intrigado. “Qual é vantagem de saber de antemão a área da elipse?”, perguntei eu. “Ora, professor”, respondeu ele,”se, para encher o cîrculo central com flores amarelas, eu preciso de uma caixa de mudas, quando for cobrir o restante da elipse com flores azuis, sei que bastará uma outra caixa do mesmo tamanho da anterior. Não é mesmo?”

Não é admirável? Aquilo que eu e meus alunos quebrávamos a cabeça para aprender em classe, usando o complicado método do Cálculo Integral para medir a área da elipse, o velho jardineiro descobriu plantando flores, na prática. Será que não deveríamos fechar algumas escolas e transformá-las num grande jardim? n

Você pode descobrir um método mais simples de fazer uma elipse utilizando duas estacas, uma corda e uma vareta para traçar a figura. Dica: finque as estacas uma ao lado da outra e ligue-as com a corda, deixando-a meio folgada. A resposta está na página 103