Newsletter – O paradoxo do aniversário (Puzzle de 08/02/2018)

Qual deve ser o número mínimo de convidados em uma festa para garantir que pelo menos dois deles façam aniversário no mesmo dia? E para que a chance de isso acontecer seja de 50%?

367 e 23, respectivamente.

O número mínimo de pessoas que você deve chamar para que haja alguma chance de você receber dois aniversariantes no mesmo dia é dois. Claro. Por uma coincidência absurda, os dois podem ter nascido, digamos, dia 8 de fevereiro.

Mas e para GARANTIR? Bom, você chama uma pessoa e ela faz aniversário dia 15 de janeiro. Chama outra, e ela faz dia 13 de dezembro… E vai chamando. Existe uma chance de que você chegue no convidado número 365 (o número de dias do ano) e ainda, por um absurdo estatístico, cada um dos seus convidados faça aniversário num dia diferente do ano. Mas aí, na hora em que você chamar a 366^a pessoa, não vai ter jeito: ela vai TER de fazer aniversário em algum dia do ano já “ocupado” por algum dos seus outros 365 convidados.

Certo?

Errado. Porque existem anos bissextos. O seu convidado número 365 pode ter nascido no dia 29 de fevereiro (uma data que não existe neste ano de 2019, por exemplo). Então, para garantir que alguém vai fazer aniversário no mesmo dia, precisamos de 367 convidados.

E para que a possibilidade seja de 50%?

Essa versão do problema, proposta originalmente pelo matemático polonês Richard von Mises em 1939, fica mais interessante quando pensamos em probabilidades de sucesso menores. Isso porque a conta deixa de ser intuitiva. Você vai precisar de equações – no caso, as da probabilidade condicional. Para isso, vamos considerar um ano comum, com 365 dias.

De novo: estamos procurando o valor mínimo. Para a primeira pessoa da lista, então, há 365 possibilidades de dias de nascimento. Para a segunda, também há 365 datas possíveis de nascimento, mas apenas 364 que não repitam a da primeira pessoa. Para a terceira, 363, para a quarta, 362…

As chances de as datas serem distintas vão diminuindo. Consequentemente, a probabilidade de elas coincidirem aumenta. Para que essa probabilidade seja de 50%, é preciso encontrar um valor de “n” que satisfaça a equação abaixo.

O número de chances aumenta rapidamente conforme o grupo expande. Para uma festa de 10 convidados, por exemplo, a chance de que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia é de 11.7%. Se o número de nomes na lista dobra (de 10 para 20 pessoas), as chances já sobem para 41.1%. Para ultrapassar a barreira dos 50%, é preciso 23 pessoas. Com apenas 57, a chance já chega a 99%.

Daí em diante, o aumento se torna muito menos expressivo e, para chegar à certeza absoluta, são necessárias mais 310 pessoas – somando o total de 367 convites lá do começo. Ai de quem for pagar a conta do bufê.