São figuras geométricas muito loucas, produzidas por meio de equações matemáticas que podem ser interpretadas como formas e cores por programas de computador. Sua principal característica é a autossimilaridade. “Eles contêm, dentro de si, cópias menores deles mesmos. Essas cópias, por sua vez, contêm cópias ainda menores e assim sucessivamente”, explica Eduardo Colli, professor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP). Os fractais estão ligados a áreas da física e da matemática chamadas Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos, porque suas equações são usadas para descrever fenômenos que, apesar de parecerem aleatórios, obedecem a certas regras – como o fluxo dos rios. Eles não são explicados pela geometria euclidiana (aquela que você aprende na escola), pois possuem dimensão fracionária. “Essa fração está relacionada com a quantidade e a escala de ampliação das cópias da figura contidas dentro dela mesma”, diz Colli. Outra característica é que possuem complexidade infinita: um zoom em um detalhe da imagem revela novos detalhes.
• Mergulhe num fractal do Conjunto de Mandelbrot no vídeo abr.io/mandelbrot
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EXEMPLO CLÁSSICO Graficamente, um bom exemplo de fractal é o da Curva de Koch, que remete a um floco de neve. O procedimento para criá-lo é simples e repetitivo: adicionar triângulos ao perímetro de um triângulo inicial
Destrinchamos uma das equações clássicas de fractais
Resolva essa!
Há diversos tipos de equações capazes de gerar essas figuras. Um dos conjuntos de fractais mais conhecidos é o do matemático polonês Benoît Mandelbrot, que ajudou a popularizá-los a partir de 1975. Embora exija um nível avançado de conhecimento matemático, esta equação é razoavelmente simples se comparada com outras. Veja:
A origem
É um número complexo, que representa o ponto inicial da figura. É descoberto por outra equação, que soma uma parte real e outra imaginária
O progresso
Aplicando e desenvolvendo repetidamente esta função, chamada de iteração, é possível descobrir “para onde o ponto vai”
A direção
É um ponto estabelecido dentro do plano complexo. É formado pela soma de dois outros números, às vezes citados como “coordenadas” em uma imagem de fractal
A teoria na prática Onde os pesquisadores têm encontrado fractais
Medicina
A estrutura do pulmão e as ramificações dos neurônios remetem a essas figuras. Entre outros benefícios, a compreensão do desenvolvimento dos fractais pode ajudar a prever a evolução de doenças como o câncer, facilitando diagnósticos precoces
Arte
O inglês Phil Jackson lançou, em 1998, o álbum Organized Chaos, que transformava cálculos matemáticos em música fractal. E figuras psicodélicas como as desta matéria já viraram exposição, até no Museu da Imagem e do Som (MIS) de São Paulo
Computação gráfica
Alguns tipos têm sido utilizados como base de animações digitais. Eles ajudam a criar texturas, simular vegetação ou construir paisagens complexas. Apollo 13 (1995) e Titanic (1997) são alguns filmes que aplicaram esse recurso
Geografia
Os dobramentos das camadas de rocha que formam o solo são criados por dobramentos ainda menores, como um fractal. Ao se definir, por computador, esses padrões, pode-se estudar a instabilidade dos solos e prevenir catástrofes como a da região serrana do Rio de Janeiro
Economia
O conceito de fractal é usado no entendimento do comportamento da Bolsa de Valores. A variação do valor da ação em um dia de pregão é similar à variação de uma semana, um mês, um ano ou uma década. Com isso, é possível fazer estatísticas mais precisas
Fontes Eduardo Colli, professor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME-USP); Fábio Kon, professor do departamento de Ciência da Computação do IME-USP; Nilson Jorge Baldovinotti, membro do Grupo de Pesquisa em Processos de Formação e Trabalho Docente de Professores de Matemática da Unesp de Rio Claro (SP); The Fractal Geometry of Nature, de Benoit B. Mandelbrot; site da Universidade de Yale; site FractalArts.com
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