A imaginária e lógica quarta dimensão

Como formar o hipercubo e com isso a imaginária tetradimensão.

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Atualizado em 31 out 2016, 18h47 - Publicado em 31 Maio 1990, 22h00

Luiz Barco

Na edição de maio, contei minha experiência com as crianças na praia de Itapema. A menina de cabelos arrepiados que descrevi existe e se tiver lido meu artigo certamente está á espera de uma explicação sobre a quarta dimensão. Acho que todos concordam que é fácil imaginar personagens do mundo bidimensional. Dois bons exemplos são o quadrado e a circunferência. Sem grande esforço pode-se enxergar seus correspondentes tridimensionais: o cubo e a esfera. Mas como imaginar seus correspondentes tetradimensionais (que os matemáticos chamam de hipercubo e hiperesfera)?

Vamos usar uma construção interessante que aparece no livro A experiência matemática, de Philip J. Davis e Reuben Hersh, que nos ajuda a caminhar desde um ponto até um cubo, em três lances. No primeiro, tomamos dois pontos distantes entre eles, de uma unidade. Unindo-os obtemos um segmento de reta que é uma figura unidimensional (figuras 1 e 2). No segundo lance, tomamos dois segmentos de reta paralelos com uma unidade de comprimento e a uma unidade de distância um do outro (figura 3). Quando unimos os extremos correspondentes obtemos um quadrado de lado unitário, que é uma .figura bidimensional (figura 4). No terceiro lance, tomamos dois quadrados de lado unitário paralelos entre si; imaginemos um sobre o outro, a uma distância unitária (figura5). Ao unirmos seus vértices correspondentes obtemos um cubo de aresta unitária que é uma figura tridimensional (figura 6). Para chegarmos lá, é preciso ainda mais uma etapa: tomamos dois cubos de aresta unitária, paralelos entre si.
situados a uma distância também unitária um do outro (figura 7). Ao unirmos seus vértices correspondentes obtemos um hipercubo de aresta unitária que é tetradimensional.

A figura parece fazer sentido mas se a analisarmos atentamente veremos que a cada lance devemos mover-nos em uma nova direção que deve ser perpendicular a todas as direções antigas. Porém, ao caminharmos para a frente e para trás, à direita e à esquerda e finalmente para cima e para baixo teremos usado todas as três direções perpendiculares entre si que nos são acessíveis. Afinal, somos seres tridimensionais, presos ao espaço tridimensional, sem poder escapar para a quarta dimensão. No entanto, podemos concebê-la e ela é tão lógica e consistente como o mundo tridimensional em que vivemos. Hipercubos são, é claro, figuras de ficção e, quando se pergunta quantas faces eles têm, na realidade está se perguntando quantas eles teriam se existissem. Podemos responder se os reduzirmos á sua expressão algébrica, tal como a geometria analítica faz com figuras bi ou tridimensionais. O interessante é que isso tem sido muito útil para entendermos a solução de problemas (na quarta dimensão) insolúveis na terceira. Sempre imaginamos que duas figuras planas exatamente iguais (chamadas congruentes) podem se superpor deslizando uma sobre a outra e girando-as adequadamente como as figuras A e B.

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Mas e as figuras C e D? Parece à primeira vista que deslizando e girando no plano também podemos superpô-las. Porém, isso não é possível sem tirarmos uma delas do plano. Uma ou outra tem que ser levantada do plano, rodada, e colocada novamente no plano. Só aí podemos superpô-las. Isto é, temos que usar a terceira dimensão para resolver um problema insolúvel somente com o uso de duas dimensões, sem sair do plano. Se a terceira dimensão é essencial para resolver problemas da segunda, parece razoável que uma quarta seja necessária para resolver problemas insolúveis no espaço tridimensional. Embora isso pareça pertencer ao reino da fantasia, se vocês encontrarem um coelho branco de cartola muito apressado e se dispuserem como Alice a acompanhá-lo, talvez entrem no encantado mundo da Matemática e da Física modernas.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo