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Matemática sem dor

Quem vê o lado lúdico dos números sofre menos para entender os seus caprichos.

Por Da Redação Atualizado em 31 out 2016, 18h46 - Publicado em 31 jan 1999, 22h00

Luiz Barco

Se os professores brincassem mais com a Matemática, talvez os alunos encarassem melhor os números, que, além de úteis, podem ser bem divertidos. Poucos sabem, mas dá para criar passatempos até mesmo com a temida álgebra. Quer ver? Pegue uma calculadora comum e multiplique quatro números sucessivos, como 5, 6, 7 e 8. Pronto? Se conseguir fazer de cabeça, mais divertido ainda: 5 vezes 6, 30; 7 vezes 8, 56. Agora, multiplique os produtos um pelo outro, 30 vezes 56: 3 vezes 6, 18 (põe 8 e vai 1), 3 vezes 5, 15, com o 1 que veio, 16. Finalmente, abaixe o 0. Resultado: 1 680. O sucessor de 1 680 é 1 681. Repare que esse número é o quadrado de 41, isto é:

1 681 = 412

Agora, faça sozinho, começando as seqüências com o 2, depois com o 3, e então com o 4. Assim:

Se você fez tudo certinho, os resultados devem ter sido, respectivamente, 11, 19 e 29. Mas e daí? Que graça há em operações cujos resultados são 11, 19, 29 e 41? Pode não parecer óbvio à primeira vista, mas a matemática prova que o sucessor do produto de quatro números sucessivos é sempre um quadrado perfeito. Essa curiosidade aparece em várias revistas de brincadeiras matemáticas e até no livro Mathematical Cavalcade, de Brian Bolt, editado em 1992 pela Cambridge University Press.

No mês passado, tive a chance de provar algebricamente essa brincadeira. Estava na cidade de Lins, interior de São Paulo, onde trabalhei durante anos como professor de Cálculo Diferencial Integral na Faculdade de Engenharia. Enquanto aguardava com alguma ansiedade o início da cerimônia de colação de grau, o tio de um dos formandos procurou-me para falar que era leitor da SUPER desde os tempos em que eu lá lecionava. Sacou uma calculadora de bolso e começou a fazer o teste, tamborilando freneticamente no minúsculo teclado. “Professor, posso garantir para o senhor que essa regra funciona, pelo menos até esgotar a capacidade da minha calculadora”, disse ele ao final de uma série de contas. “Já depois, eu desconfio que também dê certo, mas não posso garantir.”

Pedi a ele que escolhesse um “nome” para o primeiro número inteiro dos quatro que iríamos multiplicar e ele o chamou de “x”. Sem grande trabalho, concluiu que os outros seriam “x+1”, “x+2” e “x+3”. Sugeri, então, que expressasse o sucessor do produto desses números, o que dá x.(x+1).(x+2).(x+3) + 1. Se você fizer a conta, vai chegar a x4 + 6×3 + 11×2 + 6x + 1. Confesso que foi preciso gastar alguns envelopes dos convites da festa para mostrar a ele o resultado dessa fatoração: x4 + 6×3 + 11×2 + 6x + 1 = (x2 + 3x + 1)2. Voilà! Um quadrado. E ele vale para qualquer “x”, caiba ele ou não na calculadora.

Já critiquei outras vezes nesta coluna a excessiva algebrização dos currículos escolares, mas, quando adequadamente usada, a álgebra é um poderoso instrumento disciplinador do raciocínio.

Luiz Barco – Professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo

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