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Mil anos pagando

No fim do ano fui com um grupo de alunos a um boteco onde costumávamos comemorar o encerramento do curso. O garçom, velho conhecido, recebeu-nos com sua boa vontade costumeira, convidando-nos a sentar.

Demoramos para tomar lugar à mesa. Um dos rapazes brincou, dizendo que “como somos velhos fregueses, hoje vamos comemorar por conta da casa”.

O garçom não se deu por achado e retrucou: “Hoje não, mas eu faço uma proposta melhor. Sentem-se na ordem, que quiserem. Amanhã vocês j voltam e sentam em outra ordem e assim sucessivamente sem repetir a ordem já ocupada. Quando tiverem usado todas as ordens possíveis, podem escolher nossos melhores e mais caros pratos, sem pagar”, como estávamos em nove pessoas, não pude deixar de sorrir frente a esperteza do garçom. Eu e meus oito alunos teríamos que ser fregueses assíduos pelos próximos 362880 dias, isto é, quase 1000 anos, para comermos gratuitamente. “ É, professor, essa eu aprendi no livro que o senhor me deu”, disse- me o garçom, sorrindo. Lembrei-me de que meses atrás ele me havia declarado ser leitor da SUPER, e gostar muito de divertimentos matemáticos. Foi quando dei a ele o livro “Brincando de Matemática”, de Y.J. Perelman, autor russo muito conhecido, que tem livros traduzidos em várias línguas com divertimento envolvendo matemática e física.

Vejamos a razão dos quase 1 000 anos que eu e meus alunos vamos levar para ocupar todas as ordens possíveis, Se você tiver dois objetos (ou pessoas) A e B, eles podem ser colocados em duas ordens: AB ou BA.

Vamos agora contar as ordens possíveis se forem três os objetos a serem ordenados. O novo objeto (C) pode ocupar três posições em cada um dos pares anteriores (veja o exemplo em um deles): CAB, ACB e ABC. Como são dois os pares, cada um gerando três termos, vamos ter seis ternas de objetos. Vamos acrescentar (D) à família dos objetos A, B e C. Tomemos para isso uma das ternas, BCA. Temos quatro possibilidades para colocar D.

Já vimos que existem seis modos de formar uma terna com três objetos e como são quatro li as mudanças possíveis para cada terna quando acrescentamos o quarto objeto (D), teremos 6 X 4 = 24 posições possíveis.

Assim, com dois objetos temos duas posições (2 X 1 = 2), com três objetos temos seis posições

(3 X 2 X 1 = 6) e com quatro objetos temos 24 posições (43 X 2 X 1 = 24). Com cinco objetos, vamos encontrar um número de posições que é 1 X 2 X 3 X 4 X 5 = 120.

Para nove objetos teremos 1 X 2X3X4X5X6X7X8X9= 362880. Como em cada dia teremos que mudar de posição na mesa, vamos gastar 362 880 dias, quase 994 anos.

Os cálculos fazem parte de um assunto conhecido como análise combinatória. Esse, em especial, trata das permutações (trocas) e você encontrará nos livros essa fórmula: Pn = 1 X 2 X 3 X 4 X … X (n – 1) X n, que se lê: o número de permutações simples de “n” objetos é 1 vez 2, vezes 3, vezes 4 etc. etc., vezes “n -1” (que é o antecessor de “n”), vezes “n”..

Para se ter uma idéia de como esse número cresce, se fôssemos 25 pessoas no boteco de meu amigo, o número de posições (permutações simples) seria de 15511 210 043 330 985000 000, mais do que o número de gotas de todos os oceanos e mares da como lembra Perelman.