Infinito, esse troço que não acaba

Ninguém realmente sabe o que é o infinito. Ele incomoda físicos e já levou matemáticos para o hospício, mas é fundamental para entender o mundo.

por Salvador Nogueira

... dois meninos estão discutindo na escola. Coisa de criança – mas não para eles. Após um impasse, um deles resolve expressar uma opinião forte: “Você é bobo”. O outro não pode se ver atrás. “Você é 10 vezes mais”, ele rebate, com ar convicto. Mas a alegria dura pouco. “Você é 1 000 vezes mais”, afirma o primeiro. Então, eis que vem um xeque: “Você é bobo ao infinito”. Oh-oh. Que fazer disso? O último a ser ofendido não tem muitas dúvidas: “E você, você é bobo ao infinito vezes infinito”. Silêncio triunfal.

Pode não parecer, mas esses dois estão tropeçando, em sua discussão pueril, no mesmo problema que hoje impede os cientistas de entender a origem explosiva do Universo ou mesmo sua imensa vastidão. O conceito de infinito sempre foi, e continua sendo, uma verdadeira pedra no sapato dos físicos. Eles lutam constantemente para apagá-lo do mapa a cada esquina. Mas sempre que ele é eliminado numa equação, parece apenas se esconder para voltar a surgir lá adiante, deixando os teóricos ainda mais desconcertados.

Não é difícil entender o porquê. A primeira barreira é a mais óbvia: a mente humana não está preparada para lidar, de antemão, com um conceito tão abstrato quanto a infinidade. A discussão dos meninos é um bom exemplo da visão intuitiva que as pessoas – crianças ou não – têm dessa coisa que aprendemos a chamar de infinito. Trata-se apenas de uma forma sucinta de falar de algo muito, muito, muito grande. Ocorre que há uma diferença crucial entre o muito grande, que é finito, e o “verdadeiro” infinito, aquele que de fato não é só muito grande, mas simplesmente nunca acaba.

Ao longo da história, houve muita gente que dedicou sua vida refletindo sobre esse problema. A primeira tentativa de entender o infinito veio da antiga filosofia grega. Seguindo a tradição dos inventores dos Jogos Olímpicos, Zenão de Eléia, no século 5 a.C., imaginou uma corrida de atletismo entre o favoritíssimo Aquiles e uma simples tartaruga, que, em razão de sua óbvia desvantagem, largaria alguns metros na frente do herói mítico.

O que Zenão concluiu, para a surpresa de todos, é que Aquiles, por maior que fosse o tempo da prova, jamais ultrapassaria a tartaruga. Antes de alcançá-la, ele teria de atingir metade da distância que os separava. E, antes disso, teria de atravessar metade da metade da distância. Mas primeiro teria de atravessar a metade da metade da metade, não sem antes cumprir a metade da metade da metade da metade. Você já pode imaginar aonde ele quer chegar, e por que Aquiles jamais chegaria à tartaruga: há infinitas metades até ela, e ninguém pode cumprir infinitos passos num tempo finito.

Claro, qualquer um que já tenha apostado corrida com uma tartaruga sabe que isso não é verdade. O próprio Zenão, que criou vários outros paradoxos do mesmo tipo, certamente sabia. Mas então por que diabos ele se prestou a isso? Na verdade, sua demonstração (embora não tenha sido essa a intenção dele) foi muito útil para mostrar que a idéia que temos do infinito muitas vezes parece incompatível com a realidade.

Isso produziu uma terrível aversão à infinidade. Mesmo entre os matemáticos, que costumam explorar conceitos abstratos que normalmente são inapreensíveis pelos sentidos humanos, falar do infinito durante muito tempo foi tabu – uma daquelas coisas como dividir um número por zero, que é matematicamente proibido e ponto final. Sem muita conversa.

O infinito só entrou realmente na roda dos matemáticos com a obra de um sujeito chamado George Cantor, no fim do século 19. Em 10 anos, entre 1874 e 1884, esse russo naturalizado alemão produziu uma extensa obra sobre séries infinitas. Cantor estava tão à frente de seu tempo que o matemático Leopold Kronecker chamou suas idéias de “matematicamente insanas”, e Henri Poincaré definiu seu trabalho como algo que as gerações futuras iriam ver “como uma doença de que ele se curou”.

O que ele propunha era a existência de números transfinitos – a noção de que os conjuntos infinitos podiam ter tamanhos diferentes, serem uns maiores ou menores que os outros. Como? Imagine uma árvore com galhos infinitos – cada galho dá origem a outros dois, indo direto até a infinidade. Agora, imagine-se subindo nessa árvore, escolhendo a cada momento uma bifurcação. Logo fica claro que você subirá por toda a eternidade, porque o seu caminho escolhido tem infinitos galhos. Por outro lado, argumenta Cantor, há um número igualmente infinito de caminhos alternativos, todos eles infinitos. O conjunto de todos os caminhos possíveis é infinito, mas como inclui um caminho infinito e outros mais, é maior que o conjunto de galhos de um único caminho infinito.

Claro, quando se fala em infinito, a noção é abstrata. Por isso a maioria dos matemáticos da época não engolia o papo do Cantor. O coitado, que já não batia bem (tinha problemas psicológicos), depois de ouvir essas críticas ficou ainda mais paranóico e depressivo. Terminou seus dias em desgraça, num hospital psiquiátrico, em 1918. Mas o gênio estava fora da garrafa – dali em diante, o infinito não parou mais de incomodar os matemáticos.

Um exemplo dessas brincadeiras é a famigerada divisão por zero. Sabe-se que, numa fração, mantendo-se sempre o mesmo numerador (o número que vai em cima), quanto menor o denominador (o número que vai embaixo), maior é o resultado. Por exemplo: 10/20 é menor que 10/2, que é menor que 10/0,2. O primeiro equivale a 0,5, o segundo, a 5, e o terceiro, a 50. O que aconteceria então se o denominador tendesse a um número infinitamente pequeno? Fácil: o resultado seria infinitamente grande. Como a coisa mais próxima do infinitamente pequeno é o zero, qualquer número dividido por zero daria infinito, certo?

Errado. Para os matemáticos, essa operação tem um resultado indeterminado. Zero ainda é diferente de infinitamente pequeno, por mais próximos que estejam. O truque do infinitamente pequeno pode ajuda a resolver problemas matemáticos, mas não contorna a proibição da divisão por zero. Agora, se o assunto é a física, fica muito mais difícil achar que o infinito vai resolver problemas, em vez de criá-los.

Confusão sem fim

A despeito da célebre frase de Galileu Galilei, segundo a qual as leis da natureza estão inscritas na linguagem da matemática, os físicos sabem muito bem que nem sempre escrever equações matematicamente consistentes tem relação com a realidade. Exemplo: é possível fazer modelos de um Universo com 48 dimensões, se assim o quisermos, e no entanto não há razão alguma para crer (e algumas para duvidar) que algo assim realmente exista. Ou seja: às vezes, a matemática diz coisas que não estão no mundo real.

Essa é a diferença entre físicos e matemáticos. Os primeiros estão preocupados com o que existe, e os segundos com o que pode ser expresso com números e equações, independentemente de comprovações práticas. O infinito já adquiriu um status entre os matemáticos, mas ainda não conseguiu ganhar os físicos. Por quê? “Simples”, diz Mário Novello, físico relativista e cosmólogo do CBPF (Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas), no Rio de Janeiro. “Toda observação se concretiza em uma medida, que, certamente, por ser mensurável, deve ser finita.”

Não só pela intuição, mas sobretudo pela prática, os físicos aprenderam que quando as equações de suas teorias começam a indicar coisas infinitas, há algo de errado com elas. “Existem exemplos famosos”, conta Paul Steinhardt, físico da Universidade de Princeton, nos EUA. “A teoria usual do ar o trata como um fluido, mas se você tem uma onda de choque, aquela teoria prevê um aumento infinito de energia e densidade. Nós sabemos que isso acontece porque a teoria deixou algo de fora – o ar é na verdade feito de átomos indivisíveis e, quando você inclui esse fato numa teoria aperfeiçoada, a infinidade vai embora. Então a descrição fluida do ar é boa para muitos propósitos, mas, quando a infinidade aparece, você precisa de uma teoria melhor.”

A coisa é tão grave que às vezes os físicos promovem “roubalheiras” matemáticas para solucionar suas crises com o infinito. Exemplo clássico: a teoria que é usada para explicar como elétrons e fótons trocam figurinhas, chamada de eletrodinâmica quântica. Previsões “arredondadas” feitas com ela batiam com a realidade, mas eram pouco precisas. E se você tentasse fazer os cálculos exatos, com todas as variáveis bonitinhas, aparecia um monte de infinitos na equação. Que fazer?

Foi a deixa para os físicos americanos Julian Schwinger e Richard Feynman criarem, em 1948, o truque da “renormalização”. A técnica consistia em calcular as interações entre fótons e elétrons retirando das contas resultados infinitos. Usando esse procedimento sobrenatural, eles facilitaram a eletrodinâmica quântica, obtendo previsões com uma precisão de uma parte em 10 bilhões.

O único problema é que Feynman e Schwinger trapacearam. Matematicamente, a técnica é questionável. “Isso simplesmente não é matemática sensata”, dizia o famoso físico Paul Dirac. “Em matemática sensata se despreza uma quantidade quando ela é pequena – e não porque é infinitamente grande e você não a deseja!”

Mas funciona, e é isso que importa para a maior parte dos físicos. Se uma teoria tem sucesso em prever fenômenos naturais, ela é considerada eficiente – independentemente de seu grau de consistência matemática.

A fronteira da infinitude

Apesar disso, nem todos os casos que lidaram com a infinitude tiveram um final feliz. Hoje os físicos se debatem com um problema dos grandes. Como explicar o próprio surgimento do Universo, o bom e velho big-bang?

A relatividade geral de Albert Einstein sugere que o início de tudo – assim como o centro dos buracos negros – é o que se chama tecnicamente de uma “singularidade”. É uma região em que a densidade de matéria e energia é, adivinhe só, infinita. Trata-se de uma forma bonita de dizer que lá as leis da física tais quais as conhecemos simplesmente não funcionam.

“Uma coisa que ocorre no big-bang é a aparição de uma temperatura e uma energia infinitas”, diz Steinhardt. “Se esse fenômeno ocorre num sistema, nossas leis e equações físicas não podem ser usadas para nos dizer o que acontece depois – ou antes. Considere, por exemplo, um princípio-chave da física, a conservação da energia. Somando toda a energia antes e depois de um evento, elas precisam ser iguais. Esse é um princípio poderoso. Ajuda engenheiros e cientistas em geral a planejar reações químicas, calcular o rendimento de carros e serve até para construir geladeiras. Ter certeza de que a energia não desaparece, só se transforma, dá uma baita tranqüilidade e poder de cálculo. Mas só funciona se a energia total for finita. Já a teoria do big- bang afirma que o Universo começou com uma partícula infinitamente pequena que guardava uma quantidade infinitamente grande de energia. Em casos assim, adicionar ou subtrair qualquer quantidade finita ainda dá infinito. Não há limitações. E não é só um problema de não se conseguir fazer previsões. Uma vez que não é todo dia que acontece uma situação física em que você pode adicionar ou subtrair tanta energia quanto quiser, ela é tratada como fisicamente impossível. A infinidade que surge no centro de um buraco negro ou no big-bang é provavelmente uma quebra no nosso entendimento da física, da mecânica de Isaac Newton até a relatividade geral criada por Einstein.

Sem nos livrarmos desse infinito, jamais entenderemos realmente como o Universo começou. Mas os físicos ainda não perderam as esperanças. A maioria deles anda apostando suas fichas na teoria das supercordas. O pulo-do-gato dessa nova teoria é pôr em discussão a infinitude do início do Universo. Segundo ela, o big-bang não nasceu de uma partícula infinitesimal nem tinha uma quantidade infinita de energia. Era, na verdade, formado por um emaranhado de 10 ou 11 dimensões espaciais (as dimensões que não percebemos no cotidiano estariam “enroladas” em si mesmas num espaço extremamente pequeno). As supercordas não só dão uma esperança às velhas leis da física como fornecem uma nova explicação para o mundo extremamente pequeno explorado pela mecânica quântica. Todas as partículas e forças seriam produzidas por minúsculas cordas, que vibram num ambiente de várias dimensões espaciais. Cada padrão de vibração de uma corda nesse ambiente multidimensional corresponderia a um tipo de partícula ou de força observado na natureza. “A teoria de cordas pode ser a teoria aperfeiçoada que estamos procurando. Sabemos que ela se livra de muitas das infinidades que aparecem na teoria de campo quântico, mas tudo ainda precisa ser provado”, afirma o físico Steinhardt.

Universos múltiplos

Talvez o único contexto em que os físicos não fiquem tão desconfortáveis ao falar do infinito seja o comprimento do Universo. Até onde vai o Universo? Ele é finito ou infinito? Todos os dados observáveis indicam que ele se estende numa linha reta para qualquer direção que se olhe – ou seja, seria infinito. Mas há uma pegadinha aí: a palavra “observáveis”. Se você chamar um físico na chincha e perguntar, de supetão, “o Universo é finito ou infinito?”, ele terá de responder, com honestidade: “Não sei”.

A razão pela qual os cientistas até aceitam um Universo com dimensões espaciais infinitas é que, na verdade, isso não faz a menor diferença. “A infinitude também não é aceitável nesse caso, no sentido observacional”, diz Novello. “Isso se deve ao fato de que todo cenário cosmológico convencional possui um horizonte, e, como tal, o que está além não é observável nem afeta as medidas. Por isso, nesse caso, essa infinitude não é vista como desagradável.”

Ou seja, tudo o que podemos dizer a respeito da geografia de grande escala do Universo é que ela se estende por todas as direções de forma mais ou menos plana até onde podemos enxergar. O nosso horizonte de observação é limitado pela velocidade da luz (que, aleluia!, é finita). Como o Universo tem uns 14 bilhões de anos desde o big-bang, a luz que teve tempo de chegar até nós só pode ter vindo, no máximo, de uma distância de 14 bilhões de anos-luz. Ou seja, o que existe além disso está fora da nossa vista.

O interessante é que essa idéia não é muito diferente de um buraco negro, que também possui um chamado “horizonte de eventos”, além do qual não se pode enxergar nada. Talvez a situação que se encontra num buraco negro – um objeto tão compactado e denso que nada pode escapar dele, nem a luz – seja uma ótima analogia para o nosso Universo. Pior: talvez nosso Universo esteja realmente dentro de um buraco negro!

Há quem especule que o surgimento de buracos negros dê origem a universos bebês, cada qual com seu próprio conjunto de leis físicas, e muitos com suas próprias galáxias, estrelas, planetas e – por que não dizer?– pessoas. Especula-se também que a natureza estranha da mecânica quântica – em que nada acontece com certeza, mas tudo tem alguma probabilidade de acontecer – aponte na direção da existência de infinitos universos paralelos, cada um ligeiramente diferente do outro, representando todas as combinações probabilísticas para cada uma das partículas existentes no Cosmos.

Caso isso seja verdade – e por ora está mais perto de uma especulação metafísica do que de qualquer outra coisa, em razão das dificuldades de comprovação experimental – chegamos à conclusão de que existem infindáveis versões de você espalhadas por infinitos universos lá fora, apenas ligeiramente diferentes umas das outras. Algumas dessas cópias nem estão lendo esta revista agora (sorte delas – isso lhes poupa muitas complicações!), mas todas certamente têm a mesma dificuldade para compreender que diabos vem a ser essa coisa misteriosa e contra-intuitiva. Por isso, o conceito de infinito vai seguir intrigando as pessoas quando olham para o céu, quando tentam dividir um número por zero ou quando...

 

Dúvidas ad infinitum

Sete atormentantes questões sobre o infinito

1. Todo infinito tem o mesmo tamanho?

Acredite se quiser: não. O matemático George Cantor mostrou que há grupos infinitos maiores que outros.Seriam os números transfinitos. Ao menor deles, Cantor deu o nome de "alef" zero, ao seguinte, "alef" um, e assim por diante. Por exemplo: o conjunto dos números naturais (1,2,3,4...) é infinito. O dos números reais também. Mas, se colocarmos os elementos de cada um lado a lado, os reais (que inclui frações etc.) terá mais elementos que os naturais.

2. Um espelho diante do outro mostra o infinito?

Essa é outra situação em que a teoria e a prática divergem. Matematicamente, a luz seria refletida infinitas vezes, produzindo infinitas imagens dos espelhos. Ocorre que o próprio comprimento de onda da luz é finito, então há um limite para o tamanho das coisas que ela pode iluminar. Se fosse possível dar um zoom absurdo na imagem, chegaria um ponto em que a luz não teria como continuar produzindo reflexos adicionais.

3. Quanto é infinito vezes infinito?

Infinito vezes infinito é igual a infinito. Embora existam conjuntos infinitos maiores ou menores (lembre-se do conceito de números transfinitos de Cantor), sempre que você multiplicar um infinito desses por outro, o resultado será infinito. Mais ainda, se você multiplicar infinito por um número finito, o número será ainda assim tão infinito quanto de costume. Simples, não?

4. O infinito pode ser dividido?

Sem problemas. De um conjunto infinito, dá para tirar uma infinidade de conjuntos finitos e até levar conjuntos que sejam eles próprios infinitos. E mais: ainda que você leve partes dele embora, ele seguirá infinito. Imagine um hotel com infinitos quartos, mas que esteja lotado. Se o gerente precisar arrumar um lugar para um recém-chegado, basta empurrar todos os ocupantes um quarto para frente. Assim, a suíte 1 ficará disponível. No infinito, sempre cabe mais um.

5. Existe diferença entre o infinitamente grande e o infinitamente pequeno?

Sim, e é uma diferença praticamente infinita. O infinitamente grande tende ao infinito, enquanto o infinitamente pequeno tende a zero, embora ambos sejam infinitamente imensuráveis. Matematicamente, o primeiro é simplesmente infinito, e o segundo seria 1 dividido por infinito. Um tratamento possível de coisas infinitamente pequenas foi descoberto com a invenção do cálculo, por Isaac Newton e Gottfried Leibniz. Já o tratamento de números infinitamente grandes ganhou força depois de Cantor.

6. Afinal de contas, o que é o infinito?

Para o alemão George Cantor, que foi o ás das infinitudes matemáticas, um grupo de números infinitos é tal que seus elementos podem ser pareados com alguma parte de si mesmo. Por exemplo, o conjunto de todos os números inteiros pode ser posto lado a lado com o seu subconjunto composto somente pelos números pares. Ambos têm uma correspondência que se alonga para sempre.

7. Uma reta tem mesmo infinitos pontos?

Na teoria matemática, sim. Na prática, não. Os físicos estão cada vez mais convencidos de que todas as unidades da natureza são compostas de elementos de tamanho mínimo, indivisíveis. Essa é a base da mecânica quântica, e hoje a maioria dos cientistas desconfia que até mesmo o espaço e o tempo possuem unidades mínimas, indivisíveis. Nesse caso, para a física, haveria um limite para o quanto poderíamos picotar uma grandeza real.

 

Vale a pena ler

Uma Breve História do Infinito, Richard B. Morris, Jorge Zahar, 1997,

publicidade

anuncie

Super 331 - Medo Nunca as pessoas sofreram tanto com medos, fobias  e ansiedade. O motivo: estamos sendo manipulados. Saiba como escapar e viver em paz. Assine a Super Compre a Super

Superinteressante ed. 331
abril/2014

Medo
Nunca as pessoas sofreram tanto com medos, fobias e ansiedade. O motivo: estamos sendo manipulados. Saiba como escapar e viver em paz.

- sumário da edição 331
- folheie a Superinteressante

Você está na área: Ciência

publicidade

anuncie