Desafio de matemática: o que vem depois?

Aprenda a montar sucessões numéricas a partir de subtrações e veja como exercícios matemáticos podem ser divertidos.

por Luiz Barco

Encontrei-me outro dia com um ex-aluno da universidade e ele estava meio irritado com a matemática. Disse que sua filha trazia da escola uma quantidade exagerada de contas para fazer. “Na semana passada ela perdeu boa parte de uma tarde realizando 27 subtrações. Será que cinco ou seis não seriam suficientes para verificar seu aprendizado?”

Percebi a angústia do rapaz e aproveitei para contar-lhe algumas curiosidades envolvendo subtração. Logo de cara, sugeri a ele algumas leituras, dentre elas livro Actividades Matemáticas (Coleção O Prazer da Matemática, Editora Gradiva, Lisboa, 1994), do inglês Brian Bolt. São 151 probleminhas divertidos, capazes de acabar com qualquer antipatia em relação à disciplina. Alguns desses exercícios tratam da formação de sucessões numéricas usando como base a diferença entre os números e é deles que vamos falar aqui. Para começar, nada melhor que um exemplo. Veja se consegue encontrar os três próximos componentes da seguinte seqüência: 7, 14, 23, 34, 47. Numa primeira observação parece difícil. Porém se calcular as diferenças entre os termos sucessivos, verá surgir uma sucessão mais óbvia: a de números ímpares a partir do 7. Veja:

 

Bem, agora fica fácil prever os três próximos integrantes da seqüência de ímpares: 15, 17 e 19. Feito isso, basta efetuar as adições para obter a continuação da seqüência original: 62, 79 e 98, como você pode conferir abaixo.

 

Meu amigo animou-se e criou alguns exercícios. Antes de continuar a leitura, veja se descobre quais os próximos termos nas seqüências que ele inventou:

a. 11, 13, 17, 23, 31

b. 2, 7, 17, 32, 52

c. 5, 6, 11, 20, 33

 

É claro que não estou propondo apresentar problemas assim para crianças que mal sabem subtrair. Apenas quis mostrar ao meu amigo, que afirma não gostar de matemática, a possibilidade do prazer da descoberta. Veja que para encontrar os números acima – 41, 77 e 50 – você teve que efetuar várias subtrações, mas realizou-as de modo mais agradável do que se tivesse que fazer um monte de contas sem relação umas com as outras. Esse aspecto lúdico parece ter sido esquecido por muitos professores.

 

Como meu amigo gostou da brincadeira, resolvi complicar um pouco. Tente concluir qual o próximo número da seguinte seqüência: 5, 8, 12, 18, 27, 40.

 

Seguindo o método das diferenças, você deverá encontrar 3, 4, 6, 9, 13, que, igualmente, é uma sucessão de números cuja lei de formação não é tão óbvia. Continuemos então o processo, aplicando a lei das diferenças a esse novo conjunto de números. O resultado será: 1, 2, 3, 4. Elementar. O próximo termo dessa seqüência, que podemos chamar de segundas diferenças, será o 5, não? Basta aplicar a novidade ao que já sabemos para concluir que o número subseqüente das primeiras diferenças é 18 e a resposta ao problema inicial é 58. Confira no esquema como chegamos aos resultados:

Repare que cada nova sucessão tem um termo a menos que a anterior. Isso quer dizer que à medida que a lei de formação se complica é necessário fornecer mais componentes na sucessão original. Sabendo disso, vamos a um desafio. Veja se descobre o próximo termo da seguinte seqüência: 1, 2, 4, 11, 29, 66, 132. Não é  uma delícia chegar ao resultado? Claro que é. E, por falar nisso, outro dia um jovem quase me pegou numa seqüência de números que parecia impossível resolver. Lá vai ela também para você: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19. Não é um problema comum, você vai logo perceber. Na próxima edição publicamos a resposta deste e do desafio anterior. Boa sorte!

 

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicação e Artes da Universidade de São Paulo

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