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Números camuflados

Um ótimo livro de Matemática desperta a curiosidade sobre uma porção de números ocultos no cotidiano. Eles estão em construções, flores e até em caramujos.

João Luiz Guimarães

Fartas opções em 6 000 anos de história

O poeta português Fernando Pessoa (1888-1935) dizia que uma fórmula matemática poderia ser comparada a uma obra de arte. Agora, com A História Universal dos Algarismos (Nova Fronteira, 1 536 páginas, 80 reais), do matemático francês Georges Ifrah, cujo segundo volume chega este mês às livrarias, você vai acabar concordando com o poeta. Isso sem dizer que vai se divertir, conhecendo, entre outras coisas, números dos quais é pouco provável que já tenha ouvido falar, embora sirvam para explicar relações do dia-a-dia.

De acordo com Ifrah, o homem se vale dos algarismos há 6 000 anos. Os sumérios, na região onde hoje é o Iraque, representavam a escala sexagesimal – com base 60 e não 10, como a que usamos – com figuras parecidas com as de seu alfabeto. A relação com as letras também é nítida nos números romanos – I, V, X, C, L, D e suas combinações. Não é coincidência. Letras e algarismos nasceram juntos.

Amigos do peito

Ao longo dos séculos, os números foram dando uma formidável ajuda a todas as ciências. E tantas aplicações exigiram criatividade na hora de nomear as descobertas. Experimente dar uma olhada num dicionário. Há números amigos, deficientes, transcendentais, abundantes, eqüiprováveis e muitos mais. Uma parte dos nomes só serve para exprimir relações aritméticas, sem utilidade prática. Os amigos, caso típico, são duplas em que um é igual à soma dos divisores próprios do outro e vice-versa. Veja: somando os divisores de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55, 110) chega-se a 284. Somando os de 284 (1, 2, 4, 71, 142), acha-se 220. Por isso, 284 e 220 são amigos. Teoria pura, ao menos por enquanto.

Mas há outros números pouco conhecidos que explicam relações corriqueiras. Suspeita-se que o áureo (1,618…) tenha surgido da simples observação do homem por ele mesmo. Como temos relações proporcionais em nosso corpo, era de se esperar que considerássemos harmoniosas as formas que tivessem disposição semelhante. Assim, desde cedo a Arquitetura descobriu e usou as relações áureas (veja o infográfico), embora elas só tenham recebido esse nome no Renascimento. O responsável pelo batismo não podia ser outro: o genial Leonardo da Vinci, que não por acaso entendia tanto de Estética quanto de Matemática, confirmando a intuição de Fernando Pessoa.

Geometria exigiu novos nomes

O livro de Ifrah também é esclarecedor sobre a origem remota dos números. Na Antiguidade, os pastores costumavam relacionar determinado conjunto de ovelhas a um grupo igual de pedrinhas (calculus, em latim, de onde vem o verbo calcular). Para verificar se alguma havia se desgarrado ao final do dia, confrontavam as duas quantidades. A história dos números deve muito a comparações simples como essa. “Número não é nada mais do que isso: algo que pode estabelecer uma correspondência entre conjuntos e, ao mesmo tempo, representar grandezas”, diz José Maria Giroldo, professor de Matemática do Colégio Equipe, em São Paulo.

Linguagem dos deuses

Os algarismos surgiram para dar uma cara à idéia descrita por Giroldo. Lá pelo ano 300 a.C., o grego Euclides estabeleceu os princípios da Geometria, dando origem a conceitos matemáticos mais complexos. Inicialmente, como o próprio nome sugere, o novo campo do saber dedicava-se à medição de terrenos (em grego, geo quer dizer terra e metria, medição). Mas, com a Geometria, a Matemática ganhou maiores aplicações na Arquitetura e nas artes. Antes disso, outro matemático da Grécia, Pitágoras (580-500 a.C.), cuja existência é questionada por alguns pesquisadores, teria dado aos números uma dimensão mística. Achava-se, então, que eles podiam traduzir a linguagem dos deuses.

Embora tenham sido batizados somente em 1882, os números transcendentais trazem em seu nome uma certa referência àquela época. Transcendentais são irracionais que, além de não poderem ser expressos por frações e terem infinitas casas decimais não-periódicas, ainda representam o resultado de uma soma infinita. O p (pi) é o mais conhecido. Produto de uma soma infinita de frações positivas e negativas, ele é representado pela aproximação 3,1416… Não tem nada de mágico, claro, mas, igual a um monte de outros números, carrega uma deliciosa dose de mistério, como a obra artística. Fernando Pessoa estava mesmo certo. Às vezes, Matemática e arte se confundem.

Para saber mais

Matemática e Imaginação, Edward Kasner e James Newman, Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1976.

Número – A Linguagem da Ciência, Tobias Dantzig, Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1970.

Na Internet:

MATNET (http://www.iis.com.br/~mribeiro/main.htm)

Ouro que se encontra em qualquer lugar

Você acha o número áureo na Arquitetura, no corpo e até em flores.

Efetuando a partilha

Há um ponto específico em qualquer segmento de reta que pode ser chamado de ponto de ouro. Você o terá encontrado se, ao dividir o comprimento total pelo da parte maior ou este pelo da parte menor, obtiver sempre o número irracional de infinitas casas decimais 1,618… Esse é o número conhecido como áureo, representado pela letra grega (fi).

Arquitetura dourada

A relação de ouro pode ser observada na fachada do templo grego Partenon, em Atenas. Ela é um retângulo áureo, isto é, a divisão entre o comprimento e a altura resulta próxima de .

O complexo é simples

O nome é complicado, a definição também, mas, quando vê um exemplo, qualquer um entende o que é um número complexo. Teoricamente é aquele que exprime uma grandeza medida em unidades que não guardam entre si relações decimais. Confuso? Pense então na hora, nos minutos e nos segundos. Eles se relacionam na base 60. Matou?

Beleza exata

Um corpo esteticamente harmonioso traz relações áureas.

Cabeça

Observe como a linha dos olhos marca uma divisão áurea no comprimento total da face. E também a linha da boca é uma proporção áurea da distância entre a base do nariz e a extremidade do queixo.

Tronco

O umbigo marca um ponto áureo no comprimento do corpo.

Membros

Na mão, o tamanho dos dedos está relacionado de maneira áurea com cada uma das suas articulações.

A caminho do infinito

Desenhe você mesmo uma seqüência áurea sem fim.

Repare no fio vermelho que contorna o quadro grande. Ele é um retângulo áureo. Uma das características desse tipo de figura geométrica é a de poder gerar um quadrado e deixar como resto um novo retângulo áureo, como você percebe olhando à direita. A operação pode ser efetuada infinitas vezes. Todas as divisões do quadro grande foram feitas seguindo esse princípio.

Simetria ao natural

Algumas flores mostram que a natureza também gosta do padrão dourado.

Se você sobrepuser um pentágono estrelado à azaléia, verá que ela está formada por proporções áureas.

Imaginário eletrizante

Primeiro os números eram reais (os inteiros, as frações e mesmo os decimais não exatos nem periódicos). Depois surgiram os imaginários: as raízes de negativos, às quais é difícil agregar um conteúdo, mas funcionam. O i ( -1) é um deles. Ele está na fórmula que calcula a corrente elétrica (P = iU, onde P é potência e U é o campo elétrico).

Contando na chuva

Imagine o 1 seguido de cem zeros. Como você chamaria esse número gigantesco? A resposta é gugol. Só para dar uma idéia, se fosse possível contar todas as gotas de uma tempestade, elas não seriam suficientes para chegar a um gugol. Embora seja enorme, trata-se de um número finito. E muito usado nas medições astronômicas.

Vêm do infinito, mas não têm nada de esotéricos

Existem mais números transcendentais do que inteiros.

Conhecidos desde a Antiguidade, acreditava-se que os transcendentais, números que resultam da soma de infinitas frações (veja a pizza), fossem muito raros. Daí o nome. Mas o matemático russo Georg Cantor (1845-1918) demonstrou que no intervalo entre dois inteiros existem infinitos transcendentais. Os mais famosos são o p (3,1416…) e o e (2,718…).

Nas curvas da natureza

A espiral da concha depende do número e.

A curva da espiral cresce de acordo com a fórmula Z = remu. Z é o vetor; r é o raio; e, como sabemos, é 2,718…; m é uma constante; e u é o ângulo entre o eixo e o vetor. Confira ao lado.

Este é pau para toda obra

Como todo transcendental, o número e, representado pela aproximação 2,718…, é o resultado de uma soma infinita (1 + 1/1 + 1/2X1 + 1/3X2X1 + 1/4X3X2X1 + 1/5X4X3X2X1…..). Ele foi batizado por Leonard Euler (1707-1783) – o e vem do sobrenome Euler. Hoje é utilíssimo para descrever o comportamento de tudo o que cresce, pois participa da função exponencial y = ex. Esta, como qualquer outra função, expressa a relação entre duas variáveis, mostrando, quando uma muda, como a outra vai reagir. Assim, as funções ajudam a calcular desde juros até a velocidade da queda do poder radioativo dos materiais (meia-vida), como é o caso dessa (y = ex) que usa o e.

Primos sem parentesco

Uma família de números individualistas.

Primus é uma palavra latina que significa primeiro e único. Ela foi escolhida para denominar o grupo dos números inteiros divisíveis apenas por si mesmos e pelo 1. Se é inteiro e não é primo, trata-se de um composto, ou seja, pode ser dividido por outros números. Tudo isso, claro, você aprendeu na escola. O que você provavelmente não sabe é que os primos são utilíssimos na produção de códigos secretos para computadores. Criam-se fórmulas com o produto entre dois primos gigantes, gerando um monumental número composto. O segredo só será desvendado por quem descobrir os dois primos usados. Como são números astronômicos, com mais de 100 dígitos, a operação é muito difícil. O maior primo conhecido até 1990 era 391 581 x 2 216 091 . Para calculá-lo, foi necessário que um computador trabalhasse por mais de um ano.

Medição transcendental

O ¶ nasceu para avaliar o tamanho de áreas circulares.

Os antigos sabiam medir áreas compreendidas entre linhas retas. Para avaliar terrenos circulares, eles faziam comparações com a área do quadrado, problema que ficou conhecido como a quadratura do círculo, um dos maiores desafios da Matemática. Na busca da solução, descobriu-se o p (3,1416…), um transcendental que é o resultado constante da divisão do comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro. A partir do p, chegou-se à fórmula da área, que é a = pr2, onde r é o raio.

Receita de leitor

Olhando uma estante de papiros, o grego Eratóstenes (276-194 a.C), montou a primeira tábua de primos. Para achar os primos até 1 000, elimine os escaninhos múltiplos de 2, depois os de 3 e assim por diante até 31. Quando tiver riscado os múltiplos de 31 pode parar, você achou todos.