Os truques matemáticos dos sobrinhos do Pato Donald

Luiz Barco

Nunca pensei que um dia me coubesse tarefa tão gostosa. Escrever um artigo destinado aos meus amigos de infância, não aos amigos comuns, mas especialmente àqueles que não tiveram a enfadonha necessidade de crescer, pois puderam continuar crianças como Peter Pan. Surpreendi-os brincando com meus filhos e estavam do jeito que os conheci. Eu mesmo, já adulto, fiz um ar sério, mas com a desculpa de atender os meus filhos, brinquei com eles algumas vezes. São os sobrinhos do Pato Donald: Huguinho, Zezinho e Luisinho.

Recentemente, reencontrei o trio ao conversar com um velho amigo. Ele me contou ter visto no manual dos escoteiros mirins, estrelado pelos três patinhos, um conjunto de cartelas cheias de números com uma curiosa propriedade matemática. Uma pessoa escolhe mentalmente um número contido nas cartelas sem o revelar ao parceiro. Em seguida, entrega-lhes todas as cartelas em que o dito número aparece e desafia-o a descobrir o número escolhido.

Meu amigo recordava vagamente que basta somar determinados números das cartelas escolhidas para descobrir o número pensado pelo outro. Ele queria saber se eu conseguiria refazer as cartelas. Antes que eu esboçasse qualquer resposta, ele acrescentou: “É que meu filho deve apresentar uma curiosidade matemática na feira de ciências do colégio onde estuda e eu não estou achando o manual”.

Tratava-se de mais uma entre as inúmeras aplicações da binarização, ou seja, do sistema binário, de base 2. Como se trata de um sistema binário, temos de ter em mente as potências de 2. Assim, o 1 é o 2º (dois à potência zero), o 2 é o 2¹ (dois elevado ao expoente 1), o 4 é o 2², o oito, é 2³, etc. Vamos ficar por aqui e trabalhar com os números 1,2,4 e 8, escrevendo com eles todos os números inteiros que podem ser construídos como a soma de todos ou de alguns desses números que vão dar nome às cartelas:

• 1 é da cartela do próprio 1 e somente dela; • 2 é da cartela do próprio 2 e somente dela; • 3 = 1 + 2, logo, deve aparecer na cartela do 1 e do 2; • 4 é da cartela do próprio 4 e somente dela; • 5 = 1 + 4, logo, deve aparecer nas cartelas do 1 e do 4; e assim por diante, cada número pode ser escrito como uma simples soma de potências crescentes do 2, e deve aparecer em todas as cartelas das parcelas que entram na adição geradora do próprio número. Logo, o 6 aparece nas cartelas do 2 e do 4, pois • 6 = 2 + 4; • 7 = 1 + 2 + 4, logo, deve aparecer nas cartelas de 1, 2 e 4; • 8 é potência de 2 e será conseqüentemente nome de cartela; • 9 = 1 + 8 e assim aparecerá nas cartelas 1, 8 etc.

Assim como com os números 1, 2, 4 e 8 podemos por simples adição chegar até 15, vamos listar os números nas cartelas:

Cartela 1 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 e 15
Cartela 2 2, 3 ,6, 7, 10, 11, 14 e 15
Cartela 4 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 e 15
Cartela 8 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 e 15

Cada cartela terá em nosso primeiro exemplo oito números e vamos construí-las como uma tabela de duas linhas por quatro colunas, cuidando de no quadradinho superior à direita colocar a potência de 2 que lhe dá o nome. Podemos fazer em cartolina e recortar.

Pronto o brinquedo, você agora escolhe um número de 1 a 15 e não conta ao parceiro qual é; dá-lhe a cartela ou cartelas onde o número escolhido aparece. Para adivinhar o número, o parceiro deve somar as potências de 2 que aparecem no canto superior direito das cartelas recebidas. Ficará mais interessante se tomarmos as potências 1, 2, 4, 8, 16 e 32.

Com elas podemos escrever de 1 até 63 e assim construir seis cartelas, cada uma com 32 números (4 linhas por 8 colunas), e desta forma começar uma nova carreira: a de adivinho. Se essa brincadeira estiver mesmo no manual dos escoteiros mirins, os patinhos que me perdoem ter revelado seu pequeno truque.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo