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O limite dos grandes números

Ao longo desses anos, abordamos várias vezes um assunto aparentemente corriqueiro, mas que de fato é instigante: os números e o modo de escrevê-los. Ano passado, uma aluna, Fernanda, mandou-me um texto onde dizia: “Professor, com freqüência me surpreendi com a fascinante questão dos números grandes e de como eles são completamente diferentes dos números infinitos. Isso pode parecer bobo, mas eu nunca havia pensado nesta questão”.

Saiba, Fernanda, que isso não tem nada de bobo. Não é de hoje que números muito grandes têm fascinado os homens. Em seu belo livro Um, Dois, Três,… Infinito, George Gamow registra números muito, mas muito grandes, mas que, diferentemente dos números infinitos, “poderiam ser escritos até a última decimal”. Um bom exemplo é o número estimado de átomos do Universo: 3 X 1074.

O expoente 74 escrito à direita da base 10 indica que o 10 deve ser multiplicado por 10, e a seguir por 10, e assim por diante, setenta e quatro vezes. Se você testar 103, 104 etc., verá que 1074 é o número 1 seguido de 74 zeros:

3 X 1074 = 300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000000000000000000000.

Mas esse modo sintético de escrever grandes números não era difundido na Antigüidade e se usarmos os sistemas antigos de numeração teremos grande trabalho para escrever até número muito, muito menores do que 3 X 1074. Se você tem dúvida, veja como se escreve, usando símbolos egípcios, o número 9 837:

Homens de gênio ocuparam se da tarefa de usar números muito grandes. Um belo exemplo desse esforço foi realizado no século III a.C. por Arquimedes. Naquela época, acreditava-se que o Universo era limitado por uma enorme esfera de cristal onde estavam presas as estrelas. Aristarco de Samos calculou a distância entre a Terra e a capa esférica de cristal em dez bilhões de estádios (medida da época), aproximadamente um bilhão e 609 milhões de quilômetros.

Arquimedes calculou então o número de grãos de areia necessários para encher todo o Universo conhecido na época: 1063, 1 acompanhado de 63 zeros!

Há um livro escrito por Edward Kasner e James Neumann, cuja edição em português está infelizmente esgotada, chamado Matemática e Imaginação. Nele se encontra o registro curioso do fato do dr. Kasner ter pedido a um sobrinho (de nove anos) que desse um nome para o número formado pelo 1 acompanhado de 100 zeros (10100), e o garoto respondeu: “gugol”. O garoto percebeu que esse número muito grande era [mito – daí ter um nome. E com uma mentalidade somente possível nos sábios e nas crianças, criou um número muito maior que o “gugol”, e maior ainda que um “gugol de gugóis”. Chamou-o de “gugolplex”: esse grande (muito grande mesmo) número é 1 acompanhado de um gugol de zeros, ou seja lO gugol = 10(1010°).

Números como o gugol e o gugolplex aparecem com freqüência em problemas matemáticos. Saiba também que se fossemos encher de grãos de areia o Universo conhecido no tempo em que Gamow escreveu seu livro precisaríamos de 101°°, ou seja, um gugol de grãos (maior do que o número de átomos, porque o Universo não é totalmente preenchido por estes últimos).