Placa de 3,8 mil anos mostra que babilônios sabiam trigonometria

Foi ainda no século 6 a.C. que Pitágoras provou sua relação mais importante: a soma dos quadrados dos catetos resulta no quadrado da hipotenusa. É verdade que esse famoso momento de eureka do grego ajudou a lançar as bases da trigonometria – sistematizada depois por nomes como Hiparco e Ptolomeu. Mas seria inocência pensar que o teorema tenha inaugurado toda uma maneira de pensar a matemática.

Isso porque certas civilizações antigas já registravam seus conhecimentos na área pelo menos mil anos antes. Papiros com problemas numéricos que datam de 1650 a.C. garantem que os egípcios sabiam determinar, por exemplo, o que hoje chamamos de tangente e cotangente de um triângulo retângulo. Era assim também com os chineses, que em 1110 a.C. usavam formas triangulares para medir distâncias.

Para os babilônios, povo que habitava a atual região do Iraque há 4 mil anos, as razões entre números e lados de triângulos criaram relações ainda mais complexas. Um estudo recentemente publicado no jornal Historia Mathematica mostrou que, bem antes do resto do mundo, eles já mantinham um entendimento simplório – mas bastante preciso – da trigonometria. Sem mesmo considerar ângulos em graus, babilônios sabiam que tipos de triângulos seguiam a lógica “a²+b²= c²”, pelo menos 1000 anos antes de Pitágoras contar para o mundo as suas ideias.

Os pesquisadores chegaram a essa conclusão analisando a Plimpton 322, fragmento de placa de cerâmica descoberto no começo do século 20 no sul do Iraque. O objeto possui 12 centímetros de largura e teria sido originalmente produzido na cidade histórica de Larsa, entre 1822 e 1762 a.C.. Depois de ser comprada pelo norte-americano George Arthur Plimpton, a peça foi doada para o acervo arqueológico da Universidade de Columbia, onde está desde 1936, e bastante estudada desde então.

Em escrita cuneiforme, a placa traz 60 números dispostos em 15 linhas e 4 colunas. Em uma das colunas, há números de 1 a 15. Mas o mais interessante é o resto do conteúdo: nada menos do que conjuntos de ternos pitagóricos. São chamados dessa forma os trios de números que representam um triângulo retângulo perfeito. Se um dos lados do triângulo valer 5, o outro 12 e a hipotenusa 13, por exemplo, você consegue satisfazer exatamente a equação a²+b²= c². Essa mesma relação vale também para trios como 6, 8 e 10 ou 3, 4 e 5.

Como é apontado pelos pesquisadores em seu artigo para o The Conversation, essa abordagem totalmente inovadora foi possível por conta da concepção de triângulo dos babilônios. Eles tinham muito mais claramente que as figuras triangulares eram metade de um retângulo. Tudo graças a seu sofisticado sistema sexagesimal – que usa base 60, e não 10, como fazemos hoje.

Pensar em uma contagem que não é decimal tem suas vantagens. Dividir 10 por 3, por exemplo, produz uma dízima periódica (3,333…, um número de infinitas casas decimas). A mesma divisão, se a base for 60, resulta em 20. 60, da mesma maneira, também é divisível por 2, 4, 5, 6 e por aí vai. Usando essa tabela como referência e com números cheios, eles conseguiam construir uma variedade grande de triângulos exatos.

“Você não constrói uma tabela trigonométrica por acidente”, declarou Daniel Mansfield, um dos autores do estudo, ao The New York Times. “Ter apenas uma lista de ternos pitagóricos, também, não vale de muita coisa – são apenas números. Mas quando você organiza isso de uma maneira que possa usar qualquer valor de lado de triângulo para achar outros lados de triângulo, isso se torna trigonometria. E é para isso que podemos usar esse fragmento.”