O que torna os números primos tão especiais?

Primeiro, vamos relembrar o básico: números primos são aqueles que só podem ser divididos por si mesmos e por um, como 2, 3, 5, 7, 11… Perceba que essa definição exclui muita coisa. Por exemplo: já sabemos logo de cara que nenhum número par além do dois é primo, pois todo número par pode ser dividido por dois.

Inclusive, se um número qualquer aparece na tabuada de qualquer outro número, já era: ele não pode ser primo. Pense no 31, que solidão: ele não é divisível por ninguém. Nadinha. Não dá as caras em nenhuma tabela de multiplicações. É isso que o torna primo.

Apesar dessa limitação, existem infinitos números primos. E essa é a primeira anomalia digna de nota. Não importa o tamanho de um primo – o maior já encontrado tem 17,4 milhões de dígitos –, sempre haverá um próximo que é maior ainda.

A segunda estranheza é que todo número que não é primo pode ser obtido pela multiplicação de primos. Tipo o 12 (2 x 2 x 3) ou o 2.244.354 (2 x 3 x 7 x 53.437). Pegar um número comum e descobrir quais números primos dão origem a ele é um processo chamado fatoração.

Isso os torna importantes para aplicações práticas, como a criptografia. É como se os primos fossem tijolos básicos com base nos quais é possível construir todo o castelo dos números.

Por fim: não há método totalmente confiável para prever qual será o próximo primo. Os matemáticos já descobriram, é claro, certos padrões e tendências. Mas a distribuição deles ao longo da reta dos números permanece, para todos os efeitos práticos, aleatória.

Pergunta de @titodocarmo, via Instagram.

Fonte: texto “Is there a formula for finding primes? Do primes follow a pattern?” no blog Ask a Mathematician.

Errata: na versão impressa deste Oráculo, disponível na edição 423 da Super, a fatoração do número 12 está errada. Corrigimos para a versão online.