O que são os “Problemas do Milênio” da matemática?
O Clay Mathematics Institute (CMI) propõe sete das perguntas mais difíceis da matemática – e oferece um milhão de dólares para os primeiros que as resolverem.
Por Amanda Nascimento 9 set 2026, 19h00
À medida que a virada do milênio se aproximava, um instituto de pesquisa nos Estados Unidos chamado Clay Mathematics Institute (CMI), reunia os maiores matemáticos do mundo para um projeto ambicioso. Liderados pelo conselho científico do instituto, a comunidade selecionou um conjunto de sete problemas matemáticos nunca antes resolvidos. Nascia ali os “Problemas do Milênio”.
A ideia é simples. O CMI concede um milhão de dólares para o pesquisador que solucione um dos problemas pela primeira vez. É claro: nenhum dos 7 problemas é fácil de resolver. Eles foram escolhidos justamente por serem considerados algumas das questões mais difíceis com as quais os matemáticos se deparavam na virada do segundo milênio.
No dia 24 de maio de 2000, o Instituto anunciou a lista final dos sete problemas: a Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer; a Conjectura de Hodge; o problema da existência e unicidade para as equações de Navier-Stokes; a Conjectura de Poincaré; o problema P versus NP; a Hipótese de Riemann; e o problema da lacuna de massa para a teoria quântica de Yang-Mills.
Segundo o instituto, o objetivo é “elevar, na consciência do público em geral, a percepção de que, na matemática, a fronteira permanece aberta e repleta de problemas importantes ainda não resolvidos”. Atualmente, os Problemas do Milênio estão entre os temas mais pesquisados da área e o CMI não estabeleceu um prazo limite para a resolução deles.
Ao longo dos últimos 26 anos, apenas um deles foi oficialmente resolvido: a Conjectura de Poincaré, em 2003, pelo matemático russo Grigori Perelman. Nesta terça-feira (8), porém, a OpenAI anunciou que uma de suas IAs conseguiu resolver o problema de Navier-Stokes. Entenda (ou tente entender) o que significam esse e os outros problemas do Milênio:
Conjectura de Poincaré
Uma esfera bidimensional é formada por uma única superfície bidimensional fechada e conexa. Para explicar a afirmação, podemos usar uma maçã: se esticarmos um elástico em volta da superfície da fruta, é possível reduzir o elástico a um novo ponto, sem rasgá-lo e sem deixá-lo sair da superfície.
Agora pense no formato de uma rosquinha. Se imaginarmos que o mesmo elástico foi esticado na direção em volta de uma rosquinha, não há como reduzi-lo a qualquer ponto sem romper o elástico ou a rosquinha. Em 1904, Henri Poincaré descobriu que essa dinâmica é expressa pelas superfícies bidimensionais dos objetos – a superfície da maçã é “simplesmente conexa”, mas a superfície da rosquinha não.
A conjectura de Poincaré, por sua vez, foi a pergunta seguinte colocada pelo matemático. Ele queria saber se a descoberta sobre superfícies bidimensionais seria válida para formas tridimensionais.
Entre 2002 e 2003, o russo Perelman provou que qualquer espaço tridimensional fechado sem furos é equivalente a uma esfera – ou seja: sim, a descoberta de Poincaré é verdadeira em três dimensões.
P versus NP
Atualmente, é o maior problema não resolvido da área da ciência da computação. P versus NP parte da seguinte pergunta: se é fácil verificar se a solução de um problema está correta, também é fácil resolver o problema?
O próprio Clay Mathematics Institute (CMI) traz um exemplo. “Suponha que você esteja organizando acomodações para um grupo de quatrocentos estudantes universitários. O espaço é limitado e apenas cem estudantes serão selecionados para o dormitório. Para complicar a situação, imagine que o reitor ordenou que certos estudantes não morem juntos”.
Neste caso, é fácil verificar se uma determinada seleção de estudantes é satisfatória, mas a tarefa de gerar a lista do zero é extremamente difícil.
Navier-Stokes
Matemáticos acreditam que poderíamos prever tanto a brisa quanto a turbulência através das equações de Navier-Stokes. Isso porque elas descrevem o movimento da água e de outros fluidos.
No entanto, ainda que essas equações tenham sido escritas no século XIX, a compreensão acerca delas ainda é mínima. O problema de Navier-Stokes questiona se essas equações sempre produzem uma solução que funciona para todo o tempo, ou se produzem uma singularidade em determinadas situações.
A demonstração da OpenAI afirma ter definido justamente uma situação desse segundo tipo.
Hipótese de Riemann
A distribuição dos números primos entre os números naturais (ou seja, números inteiros e não negativos) não segue nenhum padrão. No entanto, o matemático alemão G.F.B. Riemann (1826-1866) observou que a frequência dos números primos está relacionada ao comportamento de uma função complexa.
A hipótese de Riemann afirma que todas os zeros não triviais da equação ζ(s) = 0 estão localizados em uma determinada reta vertical. Sabemos que a afirmação é verdadeira para as primeiras 10.000.000.000.000 soluções, mas não sabemos se é verdadeira para todas.
Existência de Yang-Mills e intervalo de massa
Em 1954, Chen Ning Yang e Robert Mills apresentaram uma nova estrutura para descrever partículas elementares usando estruturas que também ocorrem na geometria.
Agora, a teoria de Yang-Mills está bem consolidada, mas seu fundamento matemático ainda não é claro. Experimentos e simulações computacionais sugerem a existência de uma “lacuna de massa”: o estado de menor energia acima do vácuo teria uma energia mínima positiva. O desafio é provar matematicamente que essa teoria existe de forma rigorosa e que essa lacuna realmente aparece.
Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer
O problema de Birch e Swinnerton-Dyer propõe uma nova premissa à Teoria dos Números em curvas elípticas.
Curvas elípticas são curvas definidas por certas equações, como y² = x³ + ax + b. Elas podem ter um número finito ou infinito de pontos cujas coordenadas são números racionais. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer propõe uma relação entre a quantidade desses pontos e o comportamento de uma função matemática associada à curva.
“Quando as soluções são pontos de uma variedade abeliana, a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer afirma que o tamanho do grupo de pontos racionais está relacionado ao comportamento de uma função zeta associada ζ(s) próximo ao ponto s=1”, explica o CMI.
Conjectura de Hodge
A conjectura de Hodge pergunta até que ponto propriedades topológicas de certos espaços geométricos podem ser explicadas por objetos definidos por equações algébricas. Ela afirma que determinadas características topológicas desses espaços correspondem a combinações de subespaços que também podem ser descritos por equações algébricas.
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