O fato de o ano padrão ter 365 dias e o círculo trigonométrico ter 360º tem alguma relação?

É provável. Não se sabe por que ficou estabelecido que o círculo trigonométrico teria 360 graus, mas sabemos que ele surgiu na Babilônia. E o calendário de lá tinha 360 dias (hum…). Os babilônios também convencionaram que uma hora teria 60 minutos, e um minuto, 60 segundos.

A base do sistema numérico dos babilônios era sexagesimal – agrupava os números de 60 em 60. Hoje, utilizamos o agrupamento decimal (de 10 em 10), derivado do sistema indo-arábico. O número 360 é 60 vezes seis (quase cabalístico para uma sociedade sexagesimal).

E ele é bem conveniente para fazer cálculos: tem 24 divisores, o que facilitou a repartição do globo em 24 pedacinhos, que equivalem aos fusos horários – ainda que essa criação seja recente, do século 19. Além disso, 360 é divisível por todos os números de 1 a 10, com exceção do 7. Tudo se encaixaria perfeitamente se o ano tivesse 360 dias. Erraram por 5,25.